Consideremos un experimento aleatorio consistente en contestar tres preguntas al azar. La primera consta de dos opciones; la segunda de tres, y la tercera de cuatro. Como cada pregunta se puede o bien acertar (A) o bien fallar (F) independientemente, es razonable construir el espacio muestral formado por las siguientes $2^3=8$ ternas (sucesos elementales):
$\Omega=\{(A_1,F_2,F_3),(F_1,A_2,F_3), (F_1,F_2,A_3), (A_1,A_2,A_3),$ $\quad \quad \quad (F_1,F_2,F_3), (A_1,A_2,F_3), (A_1,F_2,A_3), (F_1,A_2,A_3)\}$
Nos gustaría calcular el valor esperado del número de preguntas acertadas al realizar este experimento aleatorio, y ponderar así la posibilidad de que un alumno que realice dicho test contestando las preguntas al azar salga airoso de la prueba.

Para ello, definamos la variable aleatoria $X$ que da cuenta del número de aciertos: $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, y cuyo soporte es $\{0,1,2,3\}$, ya que podemos acertar: cero, una, dos, o las tres preguntas.

Entonces, el valor esperado pedido es $$E[X]=0\cdot P(\{X=0\})+1\cdot P(\{X=1\})+2\cdot P(\{X=2\})+3\cdot P(\{X=3\}) \quad \quad \quad (1)$$ donde
$P(\{X=0\})=P((F_1,F_2,F_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot (1-P(A_3))=$ $\quad = (1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{4})$
$\quad = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$

$P(\{X=1\})=P((A_1,F_2,F_3) \cup (F_1,A_2,F_3) \cup (F_1,F_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,F_2,F_3))+ P((F_1,A_2,F_3)) + P((F_1,F_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot (1-P(A_3))+ (1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot (1-P(A_3))+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot (1-P(A_2))\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{11}{24}$


$P(\{X=2\})=P((A_1,A_2,F_3) \cup (A_1,F_2,A_3) \cup (F_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos incompatibles}}{=}$ $\quad =P((A_1,A_2,F_3))+ P((A_1,F_2,A_3)) + P((F_1,A_2,A_3))=$ $\quad \overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot (1-P(A_3))+ P(A_1)\cdot (1-P(A_2)) \cdot P(A_3)+$ $\quad \quad +(1-P(A_1))\cdot P(A_2)\cdot P(A_3)$
$\quad =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}$
$\quad =\dfrac{1}{4}$


$P(\{X=3\})=P((A_1,A_2,A_3))\overset{\text{sucesos independientes}}{=}P(A_1)\cdot P(A_2) \cdot P(A_3)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{24}$

Con lo cual, de (1): $$E[X]=0\cdot \dfrac{1}{4}+1\cdot \dfrac{11}{24}+2\cdot \dfrac{1}{4}+3\cdot \dfrac{2}{3}\approx 0,67\,\text{número esperado (medio) de respuestas correctas}$$

Conclusión. Como $0,67 \lt \dfrac{0+3}{2}=1,5$, no se puede confiar en obtener un resultado favorable por parte del alumno si éste realiza esta prueba contestando las preguntas al azar. $\diamond$

Geometrías euclídeas y no-euclídeas

En la escuela y en el instituto se enseña la geometría euclídea, con la que se aprende a calcular distancias, áreas, volúmenes de los cuerpos del mundo en el que funcionan nuestros sentidos. Más adelante, en el bachillerato, se introduce un importante formalismo dentro del aparato euclídeo: la geometría afín; con ella podemos manejar y describir los espacios vectoriales euclídeos, una construcción intelectual de primera importancia para adentrarnos en la gravitación de Newton y el electromagnetismo. Después, en la universidad, los estudiantes de física aprenden a tratar con geometrías que van más allá del mundo euclídeo, y, por otra parte, desde la noción de grupo algebraico, se aprende a estudiar las propiedades de una geometría a través de los invariantes de un conjunto de transformaciones al actuar éstas sobre los objetos de la misma.

Dentro de los constructos euclídeos podemos situar también la geometría proyectiva, cuyo desarrollo abstracto fue iniciado por Desargues en el siglo XVII, en la que el quinto postulado —no hay rectas paralelas en el plano proyectivo, ni planos paralelos en el espacio proyectivo— se sustituye por el importante concepto de punto del infinito; así, como ya sabían muy bien los artistas del Renacimiento (siglos XV-XVI), es posible representar cuerpos de tres dimensiones en un espacio plano de dos dimensiones; en particular, gracias al uso de los llamados puntos de fuga (puntos del infinito). Las técnicas de dibujo en perspectiva no son otra cosa que la aplicación y el principio práctico de la geometría proyectiva.

Sin embargo, las geometrías euclídeas (afín, afín-euclídea, y proyectiva) no son las únicas; al estudiar espacios de soporte no planos, como por ejemplo las superficies esféricas o las hiperbólicas, la geometría ecuclídea ya no puede explicar lo que ocurre en ellas. Valga como ejemplo un hecho que es muy fácil de comprobar: la suma de los ángulos de un triángulo esférico es superior a dos rectos.

Gracias a las geometrías no euclídeas, que niegan el quinto postulado de Euclides, podemos ver el universo físico más allá de lo que percibimos de forma inmediata con nuestros sentidos; así, por ejemplo, la Teoría General de la Relatividad (la teoría de la gravitación de Einstein) se fundamenta en la geometría (no euclídea) de Riemann, la geometría del espacio-tiempo, cuyos casos particulares son la geometría elíptica y la geometría hiperbólica.

Por otra parte, más allá de la distinción entre geometrías euclídeas y no euclídeas, cabe señalar el concepto de geometría basado en las transformaciones algebraicas que Félix Klein propuso a finales del siglo XIX: la geometría según Klein se concibe como el estudio de las actuaciones de un grupo de transformaciones sobre un conjunto de objetos; las propiedades de una geometría son los invarianates de dichas transformaciones. Este paradigma reviste una enorme importancia en física. $\diamond$