Producto escalar y espacio vectorial euclídeo, producto mixto, volumen de un paralelepípedo, matriz de Gram

Si a un espacio vectorial le dotamos de un producto escalar (forma bilineal simétrica definida positiva), obtenemos un espacio vectorial euclídeo. Si cambiamos de producto escalar, tendremos otro espacio vectorial euclídeo distinto.

Se considera un paralelepípedo cuyos vectores respresentativos (con orígenes en uno de los vértices del paralelepípedo son $\{\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)_\mathcal{C}, \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)_\mathcal{C}, \vec{w}=(w_1,w_2,w_3)_\mathcal{C}\}$, coordenadas con respecto a una base ortonormal, como por ejemplo, la base canónica $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0,0), \hat{j}=(0,1,0), \hat{k}=(0,0,1)\}$. El volumen de dicho paralelepípedo viene dado por $V=\langle (\vec{u} \times \vec{v} ),\vec{w} \rangle =\text{det}(M)$, donde $M=\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{pmatrix}$

Vamos a ver ahora cómo podemos manejar dicho determinante. Teniendo en cuenta las siguientes propiedad de los determinantes: i) $\text{det}(A\cdot B)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$ y ii) $\text{det}(A)=\text{det}(A^\top)$, siendo $A$ y $B$ dos matrices cuadradas cualesquiera. Entonces, es claro que podemos escribir el cuadrado del volumen de la forma $V=\text{det}(M)=\text{det}(M^\top)$, luego $V^2=V\cdot V= \text{det}(M)\cdot\text{det}(M)= \text{det}(M)\cdot \text{det}(M^\top)=\text{det}(M\, M^\top)$
  $=\text{det}\,\left(\begin{pmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{pmatrix}\right)$
    $=\text{det}\,\begin{pmatrix}u_1\,u_1+u_2\,u_2+u_3\,u_3&u_1\,v_1+u_2\,v_2+u_3\,v_3&u_1\,w_1+u_2\,w_2+u_3\,w_3 \\ v_1\,u_1+v_2\,u_2+v_3\,u_3&v_1\,v_1+v_2\,v_2+u_3\,v_3&v_1\,w_1+v_2\,w_2+v_3\,w_3 \\ w_1\,u_1+w_2\,u_2+w_3\,w_3&w_1\,v_1+w_2\,u_2+w_3\,v_3&w_1\,w_1+w_2\,w_2+w_3\,w_3 \end{pmatrix}$
      $=\text{det}\,\begin{pmatrix} \langle \vec{u}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{v}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{w}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \end{pmatrix} \quad (1)$
es decir, el determinante de la matriz de Gram, $G:=\begin{pmatrix} \langle \vec{u}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{v}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{w}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \end{pmatrix}$, o tensor métrico.

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Observación: Es claro que $\mathcal{B}:=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ es también una base de $\mathbb{R}^3$, aunque no sea una base ortonormal, tenemos así también un espacio vectorial euclídeo. Entonces podemos describir ese producto escalar (que no es el estándar) de dos vectores cualesquiera $\vec{s}=(s_1,s_2,s_3)_{\mathcal{B}}$ y $\vec{t}=(t_1,t_2,t_3)_{\mathcal{B}}$, referidos a dicha base $\mathcal{B}$ (no necesariamente ortonormal), de la forma: $$\langle \vec{s}\,,\,\vec{t} \rangle = (s_1,s_2,s_3)_{\mathcal{B}}\, \begin{pmatrix} \langle \vec{u}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{v}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{v}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \langle \vec{w}\,,\,\vec{u}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{v}\rangle & \langle \vec{w}\,,\,\vec{w}\rangle \\ \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}t_1\\ t_2\\ t_3\end{pmatrix}_{\mathcal{B}}$$

Démonos cuenta, sin embargo, de que en el caso particular $\alpha=\beta=\gamma=\pi/2$ (ya tenemos una base ortogonoal) y siendo $u=v=w=1$ (la base $\mathcal{B}$ es ahora ortonormal) $\mathcal{C}$) obtenemos lo que podríamos esperar: $\langle \vec{s}\,,\,\vec{t}\rangle = s_1\,t_1+s_2\,t_2+s_3\,t_3$, esto es, el producto escalar estándar.

--- Por lo tanto, los ángulos que forman los vectores $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ entre ellos son:
$\alpha:=\measuredangle{(\vec{v}\,,\,\vec{w})}=\dfrac{\langle \vec{v}\,,\,\vec{w}\rangle}{v\,w}$
$\beta:=\measuredangle{(\vec{u}\,,\,\vec{w})}=\dfrac{\langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle}{u\,w}$
$\gamma:=\measuredangle{(\vec{u}\,,\,\vec{v})}=\dfrac{\langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle}{u\,v}$
y, desde luego, $\measuredangle{(\vec{u}\,,\,\vec{u})}=\measuredangle{(\vec{v}\,,\,\vec{v})}=\measuredangle{(\vec{w}\,,\,\vec{w})}=0$, de (1) podemos escribir el volumen del paralelepípedo de la forma: $$ V^2 = \text{det}\,\begin{pmatrix} u^2 & u\,v\,\cos(\gamma) & u\,w\,\cos(\beta) \\ v\,u\,\cos(\gamma) & v^2 & v\,w\,\cos(\alpha) \\ w\,u\,cos(\beta) & w\,v\,\cos(\alpha)& w^2 \end{pmatrix} $$ luego $$ V = \sqrt{\text{det}\,\begin{pmatrix} u^2 & u\,v\,\cos(\gamma) & u\,w\,\cos(\beta) \\ v\,u\,\cos(\gamma) & v^2 & v\,w\,\cos(\alpha) \\ w\,u\,cos(\beta) & w\,v\,\cos(\alpha)& w^2 \end{pmatrix}} $$ $\diamond$

Acerca de dos importantes problemas de combinatoria

Queremos repartir tres lápices, cada uno de un color distinto (rojo, verde y azúl), entre dos personas (Juan y María), ¿de cuántas maneras podemos hacerlo? A ver si conseguimos generalizar el resultado que obtendremos de una manera muy sencilla. Si en lugar de repartir $3$ lápices quisiéramos repartir $10$ (todos de distinto color) entre $5$ personas, ¿cuántas posibilidades hay?

Hagamos un recuento muy elemental con la ayuda de una tabla:

    |==========================================|
    |  lápiz rojo  | lápiz verde | lápiz azúl  |
    |==========================================|
(1) |    María     |   María     |   María     | 
    |------------------------------------------|
(2) |    Juan      |   Juan      |   Juan      | 
    |------------------------------------------|
(3) |    María     |   María     |   Juan      | 
    |------------------------------------------|
(4) |    María     |   Juan      |   Juan      | 
    |------------------------------------------|
(5) |    Juan      |   Juan      |   María     | 
    |------------------------------------------|
(6) |    Juan      |   María     |   María     | 
    |------------------------------------------|
(7) |    María     |   Juan      |   María     | 
    |------------------------------------------|
(8) |    Juan      |   María     |   Juan      | 
    |==========================================|
    
  

(1) Los tres lápices se asignan a María
(2) Los tres lápices se asignan a Juan
(3) El lápiz rojo y el lápiz verde se asignan a María; y, el azúl, a Juan
(4) El lápiz rojo se asigna a María, y el verde y el azúl a Juan
(5) El lápiz rojo y el lápiz verde se asignan a Juan, y el lápiz azúl a María
(6) El lápiz rojo se asigna a Juan, y los lápices verde y azúl a María
(7) Los lápices rojo y azúl se asignan a María, y el verde a Juan
(8) Los lápices rojo y azúl se asignan a Juan, y el verde a María

Encontramos pues $8$ posibilidades. Si lo pensamos prescindiendo de este recuento tan elemental (escribiendo todas las posibilidades en la table) podemos razonar de la manera siguiente: Podemos elegir a $2$ personas el lápiz rojo; para cada una de las dos, podemos elegir también a las mismas personas para asignarles el lápiz verde; y lo mismo con el lápiz azúl. De esta manera, por el principio multiplicativo, el número total de posibilidades es igual a $2\cdot 2 \cdot 2 = 2^3$, lo cual nos va llevando a pensar en la generalización de la solución para casos no tan reducidos en tamaño: se trata del mismo problema que el de formar todas las palabras posibles de tres caracteres con un alfabeto de dos letras. En consecuencia, el número de posibilidades que hay a la hora de repartir $\ell$ lápices distintos entre $p$ personas es $p^\ell$, que corresponde a la fórmula de las variaciones con repetición -aunque no es bueno utilizar fórmulas sin entenderlas-: $\text{VR}_{\ell,p}:=p^\ell$, donde en particular $p$ no tiene por qué ser necesariamente mayor o igual que $\ell$, ni tampoco que $\ell$ tenga que ser necesariamente mayor o igual que $p$. Así, por ejemplo, para repartir $10$ lápices distintos entre $5$ personas, podremos hacerlo de $5^{10}=9\,765\,625$ maneras distintas.

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Cambiemos ahora las condiciones: ¿Y si los lápices son indistinguibles? (todos del mismo color). Veamos ahora de cuántas maneras podemos repartir $3$ lápices iguales entre dos personas (Juan y María). Igual que antes, generalizaremos el resultado y lo aplicaremos por ejemplo al caso (de mayor tamaño) de repartir $10$ lápices iguales (idénticos/indistinguibles) entre $5$ personas, ¿cuántas posibilidades hay?

Es claro que no habrá tantas posibilidades (con los mismos datos) en relación al reparto de lápices distintos entre un cierto número de personas; así, si hay $8$ posibilidades a la hora de repartir $3$ lápices de colores entre $2$ personas, no encontraremos tantas para el caso de que los lápices sean del mismo color. Vamos a comprobarlo. Para ello, nos valdremos de una codificación apropiada:

Imaginemos una fila de dos casillas (una para cada una de las dos personas a las que repartiremos los lápices), con un símbolo separador (para distinguir un espacio de otro, a la izquierda o a la derecha de dicho separador). Así, la posibilidad de que los tres lápices fuesen asignados a Juan (y ninguno a María) vendría representada de la siguiente manera:

  |========================================|
  |    Juan            |       María       |
  |========================================|
  |   xxx              |                   | (tres lápices para Juan y ninguno para María)
  |                   ...                  |

  

Y así, podríamos explorar el resto de posibilidades, que vemos que son tres más:

                      ...
  
  |========================================|
  |                    |        xxx        | (tres lápices a María y ninguno a Juan)
  |========================================|
  |       xx           |        x          | (dos lápices para Juan y uno para María)
  |========================================|
  |       x            |        xx         | (un lápiz para Juan y dos para María)
  |========================================|

  

Y no hay más posibilidades, en total son $4$.

Encontraremos ahora el patrón de reparto para poder generalizarlo a casos de mayor tamaño (y de tamaño arbitrario). Observemos que la codificación viene dada siempre por un conjunto lineal de $3$ símbolo 'x' y un símbolo '|' a modo de separador; esto es: [xxx|] [xx|x] [x|xx] [|xxx] Los símbolos '[' y ']' no van a jugar ningún papel, sólo sirven para delimitar cada palabra por la izquierda y por la derecha. Entonces, el poblema que tenemos el de formar palabras con un conjunto de $3$ símbolos idénticos ('x') y un símbolo (separador) '|', pero eso ya lo sabemos resolver: la solución pasa por calcular de cuántas maneras podemos permutar esos símbolos, corrigiendo también el hecho de tener símbolos repetidos entre el conjunto de los mismos; es decir, en principio tenemos $(3+1)!$ posibilidades brutas, pero al corregir la repetición de los tres símbolos 'x' dividiendo por las permutaciones del número de cada grupo de símbolo idénticos: $$\dfrac{(3+(2-1))!}{3! \cdot (2-1)!}$$ lo cual nos da las $4$ posibilidades que ya sabemos que tenemos que encontrar, enfecto: $$\dfrac{(3+1)!}{3! \cdot 1!}=\dfrac{4!}{3!\cdot 1!}=\dfrac{4\cdot 3!}{3!\cdot 1!}=\dfrac{4}{1}=4$$

Pues bien, generalizando, si queremos repartir $\ell$ lápices idénticos entre $p$ personas, habrá que manejar ahora un conjunto de $\ell + (p-1)$ símbolos en total, en el cual hay un subconjunto de $\ell$ símbolos iguales entre sí y un subconjunto de $p-1$ separadores (por supuesto iguales todos ellos). Luego, en buena lógica, inferimos que podremos hacerlo del siguiente número de maneras: $$\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!} \quad (1)$$ Así, el número de maneras en que podemos distribuir $10$ lápices (ahora idénticos) entre $5$ personas es de (1): $\dfrac{(10+(5-1))!}{10! \cdot (5-1)!}=\dfrac{14!}{10!\cdot 4!}=1\,001$ (bastantes menos que si los lápices fuesen de colores distintos).

Comentario: La fórmula (1) que hemos deducido puede escribirse como un número combinatorio: $\binom{\ell+(p-1)}{p-1}=\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!}$ y que por tanto es también igual a este otro número combinatorio: $\binom{\ell+p-1}{\ell}$. También se la suele designar como fórmula de combinaciones con repetición de $\ell$ 'elementos' a distribuir en $p$ 'lugares', $\text{CR}_{\ell,p}$, esto es: $$\text{CR}_{\ell,p}:=\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!}$$, donde en particular $\ell$ no tiene por qué ser necesariamente mayor o igual que $p$, ni tampoco que $p$ tenga que ser necesariamente mayor o igual que $\ell$. $\diamond$

Extracciones simultáneas de bolas de una urna

Una urna contiene tres bolas blancas y cinco bolas negras. Extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que de las tres bolas al menos dos sean negras?

Si hubiésemos hecho las extracciones con reposición, ¿cuál sería en tal caso el resultado?

Extracción simultánea de las tres bolas (extracciones sucesivas de las tres bolas sin reposición)

Debemos considerar que para que se obtenga el resultado pedido, es posible que de las tres bolas extraídas dos sean negras y una blanca o bien podría ser que las tres fuesen negras, entonces aplicando el principio de Laplace y teniendo en cuenta que al ser los dos sucesos favorables, por aditividad se tiene que $$\displaystyle \dfrac{\binom{5}{2}\cdot \binom{3}{1}}{\binom{5+3}{3}}+\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{3}{0}}{\binom{5+3}{3}}=\frac{5}{7}\approx 0,71$$

Extracciones sucesivas de las tres bolas con reposición

En estas condiciones (extracciones sucesivas con reemplazamiento) los resultados de extraer cada una de las tres bolas son independientes, luego podemos utilizar la fórmula de la distribución binomial, en la que, por la regla de Laplace, la probabilidad de sacar bola negra en cada extracción es $\frac{5}{8}$ y la de sacar bola blanca $\frac{3}{8}$. Entonces la probabilidad pedida es: $$\displaystyle \binom{3}{2}\,\left(\frac{5}{8}\right)^2\cdot \left(\frac{3}{8}\right)^1 + \binom{3}{3}\,\left(\frac{5}{8}\right)^3\cdot \left(\frac{3}{8}\right)^0 =\frac{175}{256}\approx 0,68$$

Observemos que en el caso de las extracciones sucesivas con reposición (extracciones sucesivas independientes), la probabilidad obtenida es algo menor que la que corresponde a la extracción simultánea de las tres bolas (equivalente a tres extracciones sucesivas sin reposición, y por tanto dependientes unas de otras). $\diamond$

Distancia euclídea entre dos puntos de un espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$

La distancia entre dos puntos cualesquiera, $P$ y $Q$, de un espacio euclídeo se define de la siguiente manera: $$\text{distancia}(P,Q)=\text{distancia}(Q,P)=\left\| \overset{\rightarrow}{PQ} \right\|=\sqrt{\langle \overset{\rightarrow}{PQ}\,,\,\overset{\rightarrow}{PQ} \rangle}=\sqrt{\langle \overset{\rightarrow}{QP}\,,\,\overset{\rightarrow}{QP} \rangle}$$ donde $\langle\,,.,\,\rangle$ designa un producto escalar euclídeo. $\diamond$

Distancia euclídea entre dos rectas que se cruzan

Consideremos dos rectas, $r_1:(P,\vec{u})$ y $r_2:(Q,\vec{v})$ en $\mathbb{R}^3$, y, por tanto, sus ecuaciones en forma continua son: $$r_1:\dfrac{x-x_P}{u_1}=\dfrac{y-y_P}{u_2}=\dfrac{z-z_P}{u_3}$$ $$r_2:\dfrac{x-x_Q}{v_1}=\dfrac{y-y_Q}{v_2}=\dfrac{z-z_Q}{v_3}$$ de tal manera que se crucen (no se cortan), esto es, $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=3$. En estas condiciones, queremos calcular la distancia entre las dos rectas, $\text{distancia}(r_1,r_2)$. Entonces, podemos empezar encontrando un plano $\pi$ que contenga a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, para, a continuación, obtener el vector normal unitario al mismo, $\vec{n}_1$. Finalmente, encontraremos dicha distancia con ayuda del producto escalar euclídeo: $$\text{distancia}(r_1,r_2)=\langle \vec{n}_1\,,\,\overset{\rightarrow}{PQ} \rangle$$

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Veamos ahora los pormenores del procedimiento. Para calcular un vector normal a $\pi$, podemos hacerlo de dos maneras:

1. Mediante el producto vectorial: $\vec{n}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$, donde $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0,0),\hat{j}=(0,1,0),\hat{k}=(0,0,1) \}$ es la base canónica del espacio $\mathbb{R}^3$
2. Obteniendo la ecuación del plano $\sigma=(Q,\vec{u},\vec{v})$ -o, también, si se prefiere, del plano $\sigma'=((P,\vec{u},\vec{v})$-, uno u otro nos vale. Así, como ya sabemos, $$\sigma:\begin{vmatrix}u_1&v_1&x-x_P\\u_2&v_2&y-y_P\\ u_3&v_3&z-z_P\end{vmatrix}=0$$ con lo cual, desarrollando el determinante, llegaremos a la ecuación implícita del plano $$\sigma:\,Ax+By+Cz+D=0$$ por lo que sabremos que un vector normal a $\sigma$ es $\vec{n}=(A,B,C)$

Luego, toda vez hayamos obtenido un vector $\vec{n}$ normal al plano $\sigma$, el correspondiente vector normal unitario será $\vec{n}_1=\dfrac{\vec{n}}{\left\|\vec{n}\right\|}$

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Incidencias de una recta y un plano en $\mathbb{R}^3$

Sean los planos $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi':A'x+B'y+C'z+D'=0$ que intersecan, determinando una recta $r$. Consideremos también otro plano distinto de $\pi$ y de $\pi'$: $\pi'':A''x+B''y+C''z+D''=0$ El estudio de la incidencia de dichos planos lo podemos hacer a partir del análisis de rangos del sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \\ A''x+B''y+C''z+D''=0\end{matrix}\right.$$ que en forma matricial podemos expresar como $$\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\A''&B''&C''\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D\\D'\\D''\end{pmatrix}$$ Entonces, denotando por $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\ A''&B''&C''\end{pmatrix}$ a la matriz de los coeficientes y por $\tilde{M}=\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&D\\A'&B'&C'&D'\\ A''&B''&C''&D''\end{array}\right)$ a la matriz ampliada de los coeficientes se tiene que:

• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=3$, la recta $r$ corta a $\pi''$; la solución del sistema es el punto de intersección.
• Si $\text{rango}(M)=2$ y $\text{rango}(\tilde{M})=3$, el sistema es incompatible, luego $r$ y $\pi''$ no tienen puntos en común; esto es, la recta $r$ y el plano $\pi''$ son paralelos
• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=2$, el vector normal a $\pi''$: $\vec{n}_{\pi''}=(A'',B'',C'')$ es combinación lineal de los respectivos vectores normales a $\pi$ y $\pi'$: $(A,B,C)$ y $(A',B',C')$, esto es, $(A'',B'',C'')=\alpha\,(A,B,C)+\beta\,(A',B',C')$;$\,\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, luego en esta situación tenemos un haz de planos cuya arista es la recta $r$

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Incidencia de rectas en $\mathbb{R}^3$

Sean dos rectas, $r:(P,\vec{u})$ y $s:(Q,\vec{v})$ en $\mathbb{R}^3$. Entonces:

• $r= s \Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=1$
• $r \parallel s\, (\text{siendo}, r\neq s) \Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v})=1$ y $\text{rango}(\vec{u},\overset{\rightarrow}{PQ})=2=\text{rango}(\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})$
• $r$ y $s$ se cortan $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v})=\text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=2$
• $r$ y $s$ se cruzan pero no se cortan $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=3$

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