Distancia euclídea entre dos rectas que se cruzan

Consideremos dos rectas, $r_1:(P,\vec{u})$ y $r_2:(Q,\vec{v})$ en $\mathbb{R}^3$, y, por tanto, sus ecuaciones en forma continua son: $$r_1:\dfrac{x-x_P}{u_1}=\dfrac{y-y_P}{u_2}=\dfrac{z-z_P}{u_3}$$ $$r_2:\dfrac{x-x_Q}{v_1}=\dfrac{y-y_Q}{v_2}=\dfrac{z-z_Q}{v_3}$$ de tal manera que se crucen (no se cortan), esto es, $\Leftrightarrow \text{rango}(\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{PQ})=3$. En estas condiciones, queremos calcular la distancia entre las dos rectas, $\text{distancia}(r_1,r_2)$. Entonces, podemos empezar encontrando un plano $\pi$ que contenga a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, para, a continuación, obtener el vector normal unitario al mismo, $\vec{n}_1$. Finalmente, encontraremos dicha distancia con ayuda del producto escalar euclídeo: $$\text{distancia}(r_1,r_2)=\langle \vec{n}_1\,,\,\overset{\rightarrow}{PQ} \rangle$$

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Veamos ahora los pormenores del procedimiento. Para calcular un vector normal a $\pi$, podemos hacerlo de dos maneras:

1. Mediante el producto vectorial: $\vec{n}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$, donde $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0,0),\hat{j}=(0,1,0),\hat{k}=(0,0,1) \}$ es la base canónica del espacio $\mathbb{R}^3$
2. Obteniendo la ecuación del plano $\sigma=(Q,\vec{u},\vec{v})$ -o, también, si se prefiere, del plano $\sigma'=((P,\vec{u},\vec{v})$-, uno u otro nos vale. Así, como ya sabemos, $$\sigma:\begin{vmatrix}u_1&v_1&x-x_P\\u_2&v_2&y-y_P\\ u_3&v_3&z-z_P\end{vmatrix}=0$$ con lo cual, desarrollando el determinante, llegaremos a la ecuación implícita del plano $$\sigma:\,Ax+By+Cz+D=0$$ por lo que sabremos que un vector normal a $\sigma$ es $\vec{n}=(A,B,C)$

Luego, toda vez hayamos obtenido un vector $\vec{n}$ normal al plano $\sigma$, el correspondiente vector normal unitario será $\vec{n}_1=\dfrac{\vec{n}}{\left\|\vec{n}\right\|}$

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