Incidencias de dos planos en $\mathbb{R}^3$

Sean los planos $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi':A'x+B'y+C'z+D'=0$. El estudio de la incidencia de dichos planos lo podemos hacer a partir del análisis de rangos del sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0\end{matrix}\right.$$ que en forma matricial podemos expresar como $$\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D\\D'\end{pmatrix}$$ Entonces, denotando por $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\end{pmatrix}$ a la matriz de los coeficientes y por $\tilde{M}=\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&D\\A'&B'&C'&D'\end{array}\right)$ a la matriz ampliada de los coeficientes se tiene que:

• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=2$, la solución del sistema es una variedad lineal que tiene dimensión igual a $3-2=1$, luego corresponde a una recta; esto es, los dos planos se intersecan en una recta.
  • Nota: En el caso que tengamos infinitos planos intersecándose en una misma recta, hablamos de un haz de planos concurrentes. Pongamos que dos planos cualesquiera de dicho haz sean $\pi_1:\,A_1\,x+B_1\,y+C_1\,z+D_1=0$ y $\pi_2:\,A_2\,x+B_2\,y+C_2\,z+D_2=0$, entonces la ecuación de dicho haz viene dada por $\alpha\,(A_1\,x+B_1\,y+C_1\,z+D_1)+\beta\,(A_2\,x+B_2\,y+C_2\,z+D_2)=0\;\forall\,\alpha\,,\,\beta \in \mathbb{R}$
• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=1$, la solución del sistema es una variedad lineal que tiene dimensión igual a $3-1=2$, luego corresponde a un plano, al mismo plano que uno y otro; esto es, los dos planos son coincidentes
  • Nota: Veámoslo desde otro punto de vista: Consideremos dos planos cuyas determinaciones -dadas por un punto y dos vectores coplanarios independientes- respectivas sean $\sigma_1:(P_1,\vec{u}_1,\vec{v}_1)$ y $\sigma_2:(P_2,\vec{u}_2,\vec{v}_2)$, entonces $\sigma_1=\sigma_2$ si y sólo si existen escalares $a,b,c,d,e,f\in \mathbb{R}$ tales que $$\left\{\begin{matrix}\vec{u}_1=a\,\vec{u}_2+b\,\vec{v}_2 \\ \vec{v}_1=c\,\vec{u}_2+d\,\vec{v}_2\\ \overset{\rightarrow}{P_1\,P_2}=e\,\vec{u}_2+f\,\vec{v}_2\end{matrix}\right. $$
• Si $\text{rango}(M)=1$ y $\text{rango}(\tilde{M})=2$, el sistema es incompatible (teorea de Rouché-Fröbenius), esto es, no tiene solución; luego esta situación corresponde a dos planos paralelos no coincidentes
  • Nota: En el caso que tengamos infinitos planos paralelos, hablamos de un haz de planos paralelos. Pongamos que uno esos planos sea, por ejemplo, $\pi:\,A\,x+B\,y+C\,z+D_1=0$, entonces la ecuación de dicho haz de planos paralelos viene dada por $A\,x+B\,y+C\,z+\lambda=0\;\forall\,\lambda\,\in \mathbb{R}$

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