Incidencias de una recta y un plano en $\mathbb{R}^3$

Sean los planos $\pi:Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi':A'x+B'y+C'z+D'=0$ que intersecan, determinando una recta $r$. Consideremos también otro plano distinto de $\pi$ y de $\pi'$: $\pi'':A''x+B''y+C''z+D''=0$ El estudio de la incidencia de dichos planos lo podemos hacer a partir del análisis de rangos del sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \\ A''x+B''y+C''z+D''=0\end{matrix}\right.$$ que en forma matricial podemos expresar como $$\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\A''&B''&C''\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D\\D'\\D''\end{pmatrix}$$ Entonces, denotando por $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\ A''&B''&C''\end{pmatrix}$ a la matriz de los coeficientes y por $\tilde{M}=\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&D\\A'&B'&C'&D'\\ A''&B''&C''&D''\end{array}\right)$ a la matriz ampliada de los coeficientes se tiene que:

• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=3$, la recta $r$ corta a $\pi''$; la solución del sistema es el punto de intersección.
• Si $\text{rango}(M)=2$ y $\text{rango}(\tilde{M})=3$, el sistema es incompatible, luego $r$ y $\pi''$ no tienen puntos en común; esto es, la recta $r$ y el plano $\pi''$ son paralelos
• Si $\text{rango}(M)=\text{rango}(\tilde{M})=2$, el vector normal a $\pi''$: $\vec{n}_{\pi''}=(A'',B'',C'')$ es combinación lineal de los respectivos vectores normales a $\pi$ y $\pi'$: $(A,B,C)$ y $(A',B',C')$, esto es, $(A'',B'',C'')=\alpha\,(A,B,C)+\beta\,(A',B',C')$;$\,\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, luego en esta situación tenemos un haz de planos cuya arista es la recta $r$

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