Una urna contiene tres bolas blancas y cinco bolas negras. Extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que de las tres bolas al menos dos sean negras?
Si hubiésemos hecho las extracciones con reposición, ¿cuál sería en tal caso el resultado?
Extracción simultánea de las tres bolas (extracciones sucesivas de las tres bolas sin reposición)
Debemos considerar que para que se obtenga el resultado pedido, es posible que de las tres bolas extraídas dos sean negras y una blanca o bien podría ser que las tres fuesen negras, entonces aplicando el principio de Laplace y teniendo en cuenta que al ser los dos sucesos favorables, por aditividad se tiene que $$\displaystyle \dfrac{\binom{5}{2}\cdot \binom{3}{1}}{\binom{5+3}{3}}+\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{3}{0}}{\binom{5+3}{3}}=\frac{5}{7}\approx 0,71$$
Extracciones sucesivas de las tres bolas con reposición
En estas condiciones (extracciones sucesivas con reemplazamiento) los resultados de extraer cada una de las tres bolas son independientes, luego podemos utilizar la fórmula de la distribución binomial, en la que, por la regla de Laplace, la probabilidad de sacar bola negra en cada extracción es $\frac{5}{8}$ y la de sacar bola blanca $\frac{3}{8}$. Entonces la probabilidad pedida es: $$\displaystyle \binom{3}{2}\,\left(\frac{5}{8}\right)^2\cdot \left(\frac{3}{8}\right)^1 + \binom{3}{3}\,\left(\frac{5}{8}\right)^3\cdot \left(\frac{3}{8}\right)^0 =\frac{175}{256}\approx 0,68$$
Observemos que en el caso de las extracciones sucesivas con reposición (extracciones sucesivas independientes), la probabilidad obtenida es algo menor que la que corresponde a la extracción simultánea de las tres bolas (equivalente a tres extracciones sucesivas sin reposición, y por tanto dependientes unas de otras). $\diamond$
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