Queremos repartir tres lápices, cada uno de un color distinto (rojo, verde y azúl), entre dos personas (Juan y María), ¿de cuántas maneras podemos hacerlo? A ver si conseguimos generalizar el resultado que obtendremos de una manera muy sencilla. Si en lugar de repartir $3$ lápices quisiéramos repartir $10$ (todos de distinto color) entre $5$ personas, ¿cuántas posibilidades hay?
Hagamos un recuento muy elemental con la ayuda de una tabla:
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| lápiz rojo | lápiz verde | lápiz azúl |
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(1) | María | María | María |
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(2) | Juan | Juan | Juan |
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(3) | María | María | Juan |
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(4) | María | Juan | Juan |
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(5) | Juan | Juan | María |
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(6) | Juan | María | María |
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(7) | María | Juan | María |
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(8) | Juan | María | Juan |
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(1) Los tres lápices se asignan a María (2) Los tres lápices se asignan a Juan (3) El lápiz rojo y el lápiz verde se asignan a María; y, el azúl, a Juan (4) El lápiz rojo se asigna a María, y el verde y el azúl a Juan (5) El lápiz rojo y el lápiz verde se asignan a Juan, y el lápiz azúl a María (6) El lápiz rojo se asigna a Juan, y los lápices verde y azúl a María (7) Los lápices rojo y azúl se asignan a María, y el verde a Juan (8) Los lápices rojo y azúl se asignan a Juan, y el verde a María
Encontramos pues $8$ posibilidades. Si lo pensamos prescindiendo de este recuento tan elemental (escribiendo todas las posibilidades en la table) podemos razonar de la manera siguiente: Podemos elegir a $2$ personas el lápiz rojo; para cada una de las dos, podemos elegir también a las mismas personas para asignarles el lápiz verde; y lo mismo con el lápiz azúl. De esta manera, por el principio multiplicativo, el número total de posibilidades es igual a $2\cdot 2 \cdot 2 = 2^3$, lo cual nos va llevando a pensar en la generalización de la solución para casos no tan reducidos en tamaño: se trata del mismo problema que el de formar todas las palabras posibles de tres caracteres con un alfabeto de dos letras. En consecuencia, el número de posibilidades que hay a la hora de repartir $\ell$ lápices distintos entre $p$ personas es $p^\ell$, que corresponde a la fórmula de las variaciones con repetición -aunque no es bueno utilizar fórmulas sin entenderlas-: $\text{VR}_{\ell,p}:=p^\ell$, donde en particular $p$ no tiene por qué ser necesariamente mayor o igual que $\ell$, ni tampoco que $\ell$ tenga que ser necesariamente mayor o igual que $p$. Así, por ejemplo, para repartir $10$ lápices distintos entre $5$ personas, podremos hacerlo de $5^{10}=9\,765\,625$ maneras distintas.
Cambiemos ahora las condiciones: ¿Y si los lápices son indistinguibles? (todos del mismo color). Veamos ahora de cuántas maneras podemos repartir $3$ lápices iguales entre dos personas (Juan y María). Igual que antes, generalizaremos el resultado y lo aplicaremos por ejemplo al caso (de mayor tamaño) de repartir $10$ lápices iguales (idénticos/indistinguibles) entre $5$ personas, ¿cuántas posibilidades hay?
Es claro que no habrá tantas posibilidades (con los mismos datos) en relación al reparto de lápices distintos entre un cierto número de personas; así, si hay $8$ posibilidades a la hora de repartir $3$ lápices de colores entre $2$ personas, no encontraremos tantas para el caso de que los lápices sean del mismo color. Vamos a comprobarlo. Para ello, nos valdremos de una codificación apropiada:
Imaginemos una fila de dos casillas (una para cada una de las dos personas a las que repartiremos los lápices), con un símbolo separador (para distinguir un espacio de otro, a la izquierda o a la derecha de dicho separador). Así, la posibilidad de que los tres lápices fuesen asignados a Juan (y ninguno a María) vendría representada de la siguiente manera:
|========================================| | Juan | María | |========================================| | xxx | | (tres lápices para Juan y ninguno para María) | ... |Y así, podríamos explorar el resto de posibilidades, que vemos que son tres más:
...
|========================================|
| | xxx | (tres lápices a María y ninguno a Juan)
|========================================|
| xx | x | (dos lápices para Juan y uno para María)
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| x | xx | (un lápiz para Juan y dos para María)
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Y no hay más posibilidades, en total son $4$.
Encontraremos ahora el patrón de reparto para poder generalizarlo a casos de mayor tamaño (y de tamaño arbitrario). Observemos que la codificación viene dada siempre por un conjunto lineal de $3$ símbolo 'x' y un símbolo '|' a modo de separador; esto es: [xxx|] [xx|x] [x|xx] [|xxx] Los símbolos '[' y ']' no van a jugar ningún papel, sólo sirven para delimitar cada palabra por la izquierda y por la derecha. Entonces, el poblema que tenemos el de formar palabras con un conjunto de $3$ símbolos idénticos ('x') y un símbolo (separador) '|', pero eso ya lo sabemos resolver: la solución pasa por calcular de cuántas maneras podemos permutar esos símbolos, corrigiendo también el hecho de tener símbolos repetidos entre el conjunto de los mismos; es decir, en principio tenemos $(3+1)!$ posibilidades brutas, pero al corregir la repetición de los tres símbolos 'x' dividiendo por las permutaciones del número de cada grupo de símbolo idénticos: $$\dfrac{(3+(2-1))!}{3! \cdot (2-1)!}$$ lo cual nos da las $4$ posibilidades que ya sabemos que tenemos que encontrar, enfecto: $$\dfrac{(3+1)!}{3! \cdot 1!}=\dfrac{4!}{3!\cdot 1!}=\dfrac{4\cdot 3!}{3!\cdot 1!}=\dfrac{4}{1}=4$$
Pues bien, generalizando, si queremos repartir $\ell$ lápices idénticos entre $p$ personas, habrá que manejar ahora un conjunto de $\ell + (p-1)$ símbolos en total, en el cual hay un subconjunto de $\ell$ símbolos iguales entre sí y un subconjunto de $p-1$ separadores (por supuesto iguales todos ellos). Luego, en buena lógica, inferimos que podremos hacerlo del siguiente número de maneras: $$\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!} \quad (1)$$ Así, el número de maneras en que podemos distribuir $10$ lápices (ahora idénticos) entre $5$ personas es de (1): $\dfrac{(10+(5-1))!}{10! \cdot (5-1)!}=\dfrac{14!}{10!\cdot 4!}=1\,001$ (bastantes menos que si los lápices fuesen de colores distintos).
Comentario: La fórmula (1) que hemos deducido puede escribirse como un número combinatorio: $\binom{\ell+(p-1)}{p-1}=\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!}$ y que por tanto es también igual a este otro número combinatorio: $\binom{\ell+p-1}{\ell}$. También se la suele designar como fórmula de combinaciones con repetición de $\ell$ 'elementos' a distribuir en $p$ 'lugares', $\text{CR}_{\ell,p}$, esto es: $$\text{CR}_{\ell,p}:=\dfrac{(\ell+(p-1))!}{\ell! \cdot (p-1)!}$$, donde en particular $\ell$ no tiene por qué ser necesariamente mayor o igual que $p$, ni tampoco que $p$ tenga que ser necesariamente mayor o igual que $\ell$. $\diamond$
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