Consideremos el espacio vectorial de los polinomios $V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})$ y definimos en él un producto escalar, por ejemplo de la siguiente manera $\langle p(x)\,,\,q(x) \rangle := \displaystyle \int_{0}^{1}\,p(x)\,q(x)\,dx$ (obtenemos así un espacio vectorial euclídeo). Entonces, tomando $\mathcal{C}=\{e_1=1,e_2=x,e_3=x^2\}$ como base estándar de $V$, queremos calcular la matriz de Gram asociada con respecto de esta base. Y, finalmente, el producto escalar de los polinomios $r(x)=-1+x+x^2$ y $s(x)=1+x-x^2$
Recordemos que la matriz de Gram se define como $$G:=\begin{pmatrix}\langle e_1\,,\, e_1 \rangle & \langle e_1\,,\, e_2 \rangle & \langle e_1\,,\, e_3 \rangle \\ \langle e_2\,,\, e_1 \rangle & \langle e_2\,,\, e_2 \rangle & \langle e_2\,,\, e_3 \rangle \\ \langle e_3\,,\, e_1 \rangle & \langle e_3\,,\, e_2 \rangle & \langle e_3\,,\, e_3 \rangle\end{pmatrix}$$
Hagamos los cálculos,
$\langle e_1\,,\, e_1 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, 1\cdot 1\,dx = 1$
$\langle e_1\,,\, e_2 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, 1\cdot x\,dx = \dfrac{1}{2}$
$\langle e_1\,,\, e_3 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, 1\cdot x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$
$\langle e_2\,,\, e_1 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x\cdot 1\,dx = \dfrac{1}{2}$
$\langle e_2\,,\, e_2 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x\cdot x\,dx = \dfrac{1}{3}$
$\langle e_2\,,\, e_3 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x\cdot x^2\,dx = \dfrac{1}{4}$
$\langle e_3\,,\, e_1 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x^2\cdot 1\,dx = \dfrac{1}{3}$
$\langle e_3\,,\, e_2 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x^2\cdot x\,dx = \dfrac{1}{4}$
$\langle e_3\,,\, e_1 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\, x^2\cdot x^2\,dx = \dfrac{1}{5}$
luego,
$$G=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}$$
Entonces, para calcular el producto escalar $\langle r(x)\,,\,s(x)\rangle$ -siendo las coordenadas de dichos dos vectores (con respecto de la base $\mathcal{C}$), $r(x)=(-1,1,1)$ y $s(x)=(1,1,-1)$-, sabemos que éste puede calcularse utilizando la matriz de Gram que acabamos de calcular: $$\langle r(x)\,,\,s(x)\rangle=(r_1,r_2,r_3)\,G\,(s_1,s_2,s_3)^\top$$
por consiguiente,
$$\langle r(x)\,,\,s(x)\rangle=(-1,1,1)\,\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=-\dfrac{1}{5}$$
Comprobamos que obtenemos el mismo resultado aplicando el producto escalar tal cual lo hemos definido: $$\langle -1+x+x^2\,,\,1+x-x^2 \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1}\,(-1+x+x^2)\,(1+x-x^2)\,dx = \int_{0}^{1}\,(-x^4+3x^2-1)\,dx = -\dfrac{1}{5}$$ $\diamond$
