Consideremos un espacio afín euclídeo $E$, y un endomorfismo afín $f:E\rightarrow E$ siendo la $M$ la matriz asociada con respecto a un sistema de referencia euclídeo $\mathcal{R}$ $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 1&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ 2&\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -1& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$ ¿Es $f$ un movimiento?
La matriz que representa a la aplicación lineal asociada a $f$ es $$\tilde{M}=\begin{pmatrix} \frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$
Para que $f$ sea un movimiento (se conserve la distancia entre dos puntos -isometría-), la matriz $\tilde{M}$ ha de ser ortogonal, esto es, tiene que cumplirse que $\tilde{M}=\tilde{M}^\top$, o lo que es lo mismo, $$\tilde{M}\tilde{M}^\top=\tilde{M}^\top\,\tilde{M}=I$$
Veamos si ésto se cumple:
La matriz traspuesta de $\tilde{M}$ es (cambiando filas por columnas en el mismo orden) $\tilde{M}^\top=\begin{pmatrix} \frac{3}{5}&\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5}\\ -\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5}\\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5}&-\frac{1}{5} \end{pmatrix}$
Y se comprueba que $$\begin{pmatrix} \frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{5}&\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5}\\ -\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5}\\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5}&-\frac{1}{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$$ luego $f$ corresponde a un movimiento. $\diamond$
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