a) ¿ Cuál es la probabilidad de que las seis cartas sean del mismo palo ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que entre las seis cartas haya cartas de dos palos distintos ?
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que entre las seis cartas haya cartas de tres palos distintos ?
d) ¿ Cuál es la probabilidad de que entre las seis cartas haya cartas de los cuatro palos ?
SOLUCIÓN. Todas las cartas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, por lo que podemos aplicar la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio.
a)
Denotemos por $A$, el suceso "obtener seis cartas de alguno de los cuatro palos". Procedemos a calcular el número de casos favorables $N(A)$ a dicho suceso, así como el número total de maneras de elegir seis cartas, $N$, de entre las $40$ cartas que tiene la baraja.
El número de maneras de elegir seis cartas del primer palo, o del segundo, o del tercero, o bien del cuarto palo, podemos calcularlo de la siguiente forma: Como hay $\binom{4}{1}$ maneras de elegir un determinado palo y $\binom{10}{6}$ maneras de elegir seis cartas de uno de dichos cuatro palos, entonces $N(A)=\binom{4}{1}\cdot \binom{10}{6}=840$ casos favorables a dicho suceso. Por otra parte, el número total, $N$, de maneras de dar seis cartas es $\binom{40}{6}=3\,838\,380$
Entonces, por la regla de Laplace, $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{840}{3\,838\,380} \approx 0,00022 = 0,022\,\%$$
b)
$A$ es ahora el suceso "obtener seis cartas de dos de los cuatro palos". Procedemos a calcular $N(A)$.
Sean $\mathcal{P}_1$ y $\mathcal{P}_2$ esos dos palos ( pueden ser bastos y oros, o bastos y espadas, o copas y oros, etcétera ). Vayamos por partes, viendo todo lo que se puede presentar:
i) Entre las $6$ cartas, puede haber $1$ carta de $\mathcal{P}_1$ y $5$ cartas de $\mathcal{P}_2$ o viceversa, así que tenemos dos posibilidades. Por otra parte, hay $\binom{4}{2}$ maneras de elegir los dos palos $\mathcal{P}_1$ y $\mathcal{P}_2$. Además, hay que contar con $\binom{10}{1}$ maneras de elegir la carta de $\mathcal{P}_1$ y $\binom{10}{5}$ maneras de elegir las $5$ cartas de $\mathcal{P}_2$. Así que por el principio multiplicativo, tenemos para ello el siguiente número de posibilidades $2\cdot \binom{4}{2}\cdot \binom{10}{1}\cdot \binom{10}{5}=30\,240 \quad \quad (1)$
ii) Entre las $6$ cartas, pueden haber $2$ cartas de $\mathcal{P}_1$ y $4$ cartas de $\mathcal{P}_2$ o viceversa, así que tenemos dos posibilidades para ello. Por otra parte, hay $\binom{4}{2}$ maneras de elegir los dos palos $\mathcal{P}_1$ y $\mathcal{P}_2$. Además, hay que contar con $\binom{10}{2}$ maneras de elegir las dos cartas de $\mathcal{P}_1$ y $\binom{10}{5}$ maneras de elegir las $4$ cartas de $\mathcal{P}_2$. Luego hay que contar, además, con las siguientes posibilidades, $2\cdot \binom{4}{2}\cdot \binom{10}{2}\cdot \binom{10}{4}=113\,400 \quad \quad (2)$
iii) Entre las $6$ cartas, pueden haber $3$ cartas de $\mathcal{P}_1$ y $3$ cartas de $\mathcal{P}_2$, por lo que tenemos una sóla posibilidad para ello. Por otra parte, hay $\binom{4}{2}$ maneras de elegir los dos palos $\mathcal{P}_1$ y $\mathcal{P}_2$. Además, hay que contar con $\binom{10}{3}$ maneras de elegir las $3$ cartas de $\mathcal{P}_1$ y $\binom{10}{3}$ maneras de elegir las otras $3$ cartas de $\mathcal{P}_2$. Por tanto tenemos estas otras posibilidades $2\cdot \binom{4}{2}\cdot \binom{10}{3}\cdot \binom{10}{3}=86400 \quad \quad (3)$
Así que, sumando los resultados parciales (1), (2) y (3), $$N(A)=230\,040$$ y como $N=3\,838\,380$, resulta que $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{230\,040}{3\,838\,380} \approx 0,0599$$
c)
$A$ es ahora el suceso "obtener seis cartas de tres de los cuatro palos". Procedemos a calcular $N(A)$.
Sean $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ y $\mathcal{P}_3$ esos tres palos ( pueden ser bastos, oros y copas; o bastos, espadas y oros, etcétera ). Vayamos viendo todo lo que se puede presentar:
i) Entre las $6$ cartas, puede haber $2$ cartas de $\mathcal{P}_1$, $2$ cartas de $\mathcal{P}_2$ y $2$ cartas de $\mathcal{P}_3$, así que hay una sola manera de ordenarlas atendiendo sólo el palo de las mismas, pues $\text{PR}_{3}^{3}=1$. Por otra parte, hay $\binom{4}{3}$ maneras de elegir los tres palos. Además, hay que contar con $\binom{10}{2}$ maneras de elegir la carta de $\mathcal{P}_1$, y otras tantas para elegir las de $\mathcal{P}_2$ y $\mathcal{P}_3$. Así que por el principio multiplicativo, tenemos para ello el siguiente número de posibilidades $1 \cdot \binom{4}{3}\cdot \binom{10}{2}\cdot \binom{10}{2} \cdot \binom{10}{2}=364\,500 \quad \quad (1)$
ii) Entre las $6$ cartas, puede haber $1$ carta de $\mathcal{P}_1$, $1$ carta de $\mathcal{P}_2$ y $4$ cartas de $\mathcal{P}_3$; o bien las que se obtienen de permutar esos números entre los tres tipos de palos; así que hay $\text{PR}_{3}^{1,2}=3$, maneras de ordenarlas atendiendo al palo de cada una. Por otra parte, hay $\binom{4}{3}$ maneras de elegir los tres palos. Además, hay que contar con $\binom{10}{1}$ maneras de elegir la carta de $\mathcal{P}_1$, $\binom{10}{1}$ maneras de elegir la carta de $\mathcal{P}_2$, y $\binom{10}{4}$ maneras de elegir la carta de $\mathcal{P}_3$. Así que por el principio multiplicativo, tenemos para ello el siguiente número de posibilidades $3 \cdot \binom{4}{3}\cdot \binom{10}{4}\cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1}= 252\,000\quad \quad (2)$
iii) Entre las $6$ cartas, puede haber $1$ carta de $\mathcal{P}_1$, $2$ cartas de $\mathcal{P}_2$ y $3$ cartas de $\mathcal{P}_3$; o bien las que se obtienen de permutar esos números entre los tres tipos de palos; así que hay $\text{PR}_{3}^{1,1,1}=3!=6$, maneras de ordenarlas atendiendo al palo de cada una. Por otra parte, como en los otros casos, hay $\binom{4}{3}$ maneras de elegir los tres palos. Además, hay que contar con $\binom{10}{1}$ maneras de elegir la carta de $\mathcal{P}_1$, $\binom{10}{2}$ maneras de elegir las dos cartas de $\mathcal{P}_2$, y $\binom{10}{3}$ maneras de elegir las tres cartas de $\mathcal{P}_3$. Así que por el principio multiplicativo, tenemos para ello el siguiente número de posibilidades $6 \cdot \binom{4}{3}\cdot \binom{10}{1}\cdot \binom{10}{2} \cdot \binom{10}{3}=1\,296\,000 \quad \quad (3)$
Sumando los tres resultados parciales (1), (2) y (3), $$N(A)=1\,912\,500$$ y como $N=3\,838\,380$, resulta que $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{1\,912\,500}{3\,838\,380} = \dfrac{31\,875}{63\,973} \approx 0,4983$$
d)
$A$ es ahora el suceso "obtener seis cartas de tres de los cuatro palos". Procedemos a calcular $N(A)$.
Sean $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$, $\mathcal{P}_3$ y $\mathcal{P}_4$ los cuatro palos. Veamos todo lo que se puede presentar:
i) Entre las $6$ cartas, puede haber: $2$ cartas de $\mathcal{P}_1$; $1$ carta de $\mathcal{P}_2$; $1$ carta de $\mathcal{P}_3$, y $1$ carta de $\mathcal{P}_4$, así que, permutando estos números entre los cuatro palos, vemos que hay $\text{PR}_{4}^{1,3}=4$ formas de hacerlo. Por otra parte, tenemos $\binom{4}{4}=1$ sola manera de elegir los cuatro palos. Además, hay que contar con $\binom{10}{3}$ maneras de elegir las tres cartas de $\mathcal{P}_1$, $\binom{10}{1}$ maneras de elegir las tres cartas de $\mathcal{P}_2$, $\binom{10}{1}$ maneras de elegir las tres carta de $\mathcal{P}_3$ y $\binom{10}{1}$ maneras de elegir las tres carta de $\mathcal{P}_4$. Luego por el principio multiplicativo, tenemos para ello el siguiente número de posibilidades $4 \cdot \binom{4}{4}\cdot \binom{10}{3}\cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1}= 480\,000\quad \quad (1)$
ii) Entre las $6$ cartas, puede haber: $2$ cartas de $\mathcal{P}_1$; $2$ cartas de $\mathcal{P}_2$; $1$ carta de $\mathcal{P}_3$, y $1$ carta de $\mathcal{P}_4$, así que, permutando estos números entre los cuatro palos, vemos que hay $\text{PR}_{4}^{2,2}=6$ formas de hacerlo. Por otra parte, es claro que tenemos $\binom{4}{4}=1$ sola manera de elegir los cuatro palos. Además, hay que contar con $\binom{10}{2}$ maneras de elegir las dos cartas de $\mathcal{P}_1$, $\binom{10}{2}$ maneras de elegir las tres cartas de $\mathcal{P}_2$, $\binom{10}{1}$ maneras de elegir la carta de $\mathcal{P}_3$ y $\binom{10}{1}$ maneras de elegir la carta de $\mathcal{P}_4$. Luego por el principio multiplicativo, tenemos para ello el siguiente número de posibilidades $6 \cdot \binom{4}{4}\cdot \binom{10}{2}\cdot \binom{10}{2} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1}= 1\,215\,000\quad \quad (2)$
Sumando los dos resultados parciales (1) y (2), $$N(A)=1\,695\,000$$ y como $N=3\,838\,380$, resulta que $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{1\,695\,000}{3\,838\,380} \approx 0,4416$$
Referencias:
[1] VÉLEZ, R; HERNÁNDEZ, V., Cálculo de Probabilidades I, Editorial UNED, Madrid, 2011
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