Podemos indexar los siete días de la semana, de la siguiente manera: asociamos el número entero $1$ al lunes, el $2$ al martes, el $3$ al miércoles, el $4$ al jueves, el $5$ al viernes, el $6$ al sábado, y el $7$ al domingo, así pues, el $8$ corresponde -en la semana siguiente- al lunes, el $9$ al martes, y, así sucesivamente.
Se hace evidente pues que el $1$ y el $8$ son equivalentes en el sentido de apuntar al mismo día de la semana, al igual que lo son el $2$ y el $9$, etcétera. Observemos que si restamos $7$ (la duración de una semana) a $8$ se obtiene $1$, y que si restamos $7$ a $9$ se obtiene $2$; en otras palabras, el resto de la división entera $8 \div 7$ es $1$, y el resto de la división entera $9 \div 7$ es $2$, lo cual nos lleva a afirmar que $8$ es congruente con $1$ al dividir $8$ entre $7$, ya que el resto de dicha división, $1$, es igual al primer día de la semana, y que $9$ es congruente con $2$ al dividir $9$ entre $7$, pues el resto de la división es precisamente $2$; y, de la misma manera, podemos decir que, dos semanas más después de la primera, $17$ es congruente con $3$ ( miércoles), ya que el resto de la división $17 \div 7$ es igual a $3$.
Escribiremos -en el argot matemático- que $8\equiv 1\,(\text{mod}\,7)$, $9\equiv 2\,(\text{mod}\,7)$, ..., $17\equiv 3\,(\text{mod}\,7)$, etcétera, queriendo significar con ello que $8$ es congruente con $1$ módulo $7$ -$7$ y $1$ pertenecen a la misma clase de resto-; $9$ es congruente con $2$ módulo $7$, ..., $17$ es congruente con $3$ módulo $7$, y por tanto $9$ y $2$ son de la misma clase de resto (resto igual a $2$), y $17$ y $3$ son de otra clase de resto distinta a las otras dos (de resto igual a $3$).
¿Podemos hacer intervenir en todo eso el cero y los números enteros negativos para la indexación que hemos hecho? La respuesta es sí. Démonos cuenta de que el resto de las divisiones enteras $7 \div 7$, $14 \div 7$, $21 \div 7$ es igual a $0$, y, que, por tanto, éste designa también el último día de la semana (el domingo); así por ejemplo, transcurridos $364$ días desde el lunes $1$, el día número $364$ es domingo, puesto que el resto de la división $364 \div 7$ es igual a $0$; esto es, $0\equiv 7\,(\text{mod}\,7)$, $0\equiv 14\,(\text{mod}\,7)$, $0\equiv 21\,(\text{mod}\,7)$, y $0\equiv 364\,(\text{mod}\,7)$.
Los números de indexación enteros positivos y el $0$ nos sirven pues para deducir el día de la semana que será un cierto número de días hacia el futuro, a partir del primer lunes. ¿Y hacia el pasado? Bien, razonemos qué sucede ahora: el día anterior al domingo de la semana anterior a la dada es el sábado, que bien podemos ahora representar con enteros negativos es el sábado, pero como el domingo corresponde al $0$, pues acabamos de ver que $0\equiv 7\,(\text{mod}\,7)$, ese sábado ha de corresponder a $-1$; y si nos situamos un día más hacia atrás -el viernes-, el valor que le asociaremos en buena lógica ha de ser $-2$. Así pues, pensando en el sábado de la semana anterior, cuyos valores de referencia son tanto $-1$ como $6$, tendrá que cumplirse que $-1\equiv 6\,(\text{mod}\,7)$; y pensando en el viernes anterior a dicho sábado -cuyos valores de referencia son tanto $-2$ como $5$, tendrá que cumplirse que $-2\equiv 5\,(\text{mod}\,7)$. Así, podemos remontarnos hacia atrás, utilizando ahora también los enteros negativos, que, no son otra cosa que los restos de las divisiones enteras.
Para realizar esas divisiones enteras y proceder por tanto con mayor eficiencia que el tener que restar sucesivamente $7$ (al número de días transcurridos) el número de veces necesario para quedarnos con la última diferencia -en realidad, tal cosa es una forma de realizar la división entera-, es necesario que recordemos que el teorema de la división entera reza los siguiente:
Dados dos números enteros $m$ (dividendo) y $n\neq 0$ (divisor), existen dos números enteros $q$ (cociente) y $r \ge 0$, únicos, tales que cumplen:
i) $r \prec |n|$
ii) $m = n\cdot q + r$
Así, podemos comprovar que $-2\equiv 5\,(\text{mod}\,7)$ porque al dividir $-2 \div 7$ se obtiene $-1$ de cociente y resto igual a $-2-7\cdot (-1)=5$, lo cual es mucho más rápido que el tener que realizar restas sucesivas.
Generalizando nuestro recuento de clases de resto:
Dados dos números enteros, $m$ (positivo, negativo o nulo ) y $n\neq 0$, entonces diremos que $m$ es congruente con $r \nless 0$ módulo $n \ge 0$ -y escribiremos $m\equiv r\,(\text{mod}\,n)$- si el resto de la división $m \div n$ es igual a $r$.
Así, por ejemplo, remontándonos hacia atrás (contando desde el último domingo, con índice igual a $0$), podemos deducir que el día $-31$ fue martes (índice positivo igual a $4$), ya que al dividir $-31\div 7$, se obtiene cociente igual a $-5$ y resto igual a $-31-(-7\cdot (-5))=4$, luego $-31 \equiv 4\,(\text{mod}\,7)$ y por tanto ese día (trenta y un días atrás contando desde el último domingo) corresponde a un jueves.
Un par de propiedades básicas:
Cabe aquí ahora que os hable ahora de algunas propiedades básicas (que no son difíciles de demostrar -¿te atreves?- ), que podemos utilizar para adentrarnos en el fascinante mundo de los números enteros para entender muchas de las proposiciones que podemos encontrar en los libros que tratan sobre ellos:
P1. Si $a \equiv b\,(\text{mod}\,p)$ y $c\equiv d\,(\text{mod}\,p)$, entonces $a+c \equiv b+d \,(\text{mod}\,p)$
P2. Si $a \equiv b\,(\text{mod}\,p)$ y $c\equiv d\,(\text{mod}\,p)$, entonces $a\cdot c \equiv b\cdot d \,(\text{mod}\,p)$
Comprobémoslo con un par de ejemplos (puedes cambiar los números, si quieres):
$10 \equiv 3\,(\text{mod}\,7)$ y $12\equiv 5\,(\text{mod}\,7)$, entonces $10+12=22 \equiv 1 \,(\text{mod}\,7)$, y, en efecto, $3+5=8 \equiv 1 \,(\text{mod}\,7)$
$10 \equiv 3\,(\text{mod}\,7)$ y $12\equiv 5\,(\text{mod}\,7)$, entonces $10\cdot 12=120 \equiv 1 \,(\text{mod}\,7)$, y, en efecto, $3\cdot 5=15 \equiv 1 \,(\text{mod}\,7)$
Bibliografía recomendada:
[1] E.P. ÓZHIGOVA, ¿Qué es la teoría de números (URSS, Moscú, 2004).
[2] F. ZALDÍVAR, Introducción a la teoría de números (Fondo de Cultura Económica, Mexico D.F., 2012).
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