De cantidades que se repiten en el contexto de los números enteros. Clases de resto.

Muchos fenómenos se repiten periódicamente, tal es el caso del devenir de los sucesivos días de la semana (lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, y domingo). Utilizaré esto para hablaros de las clases de resto (o congruencias) en conjunto de los números enteros. Dichas clases de resto son de enorme importancia en la teoría elemental de números, y he pensado que os vendría bien esta pequeña introducción basada en el problema del recuento del día de la semana que corresponde a un cierto valor de un índice que identifica de cuál se trata, transcurridos un cierto número de días tras uno de dichos días de referencia, que, por comodidad, estableceremos en el domingo de cada semana.

Podemos indexar los siete días de la semana, de la siguiente manera: asociamos el número entero $1$ al lunes, el $2$ al martes, el $3$ al miércoles, el $4$ al jueves, el $5$ al viernes, el $6$ al sábado, y el $7$ al domingo, así pues, el $8$ corresponde -en la semana siguiente- al lunes, el $9$ al martes, y, así sucesivamente.

Se hace evidente pues que el $1$ y el $8$ son equivalentes en el sentido de apuntar al mismo día de la semana, al igual que lo son el $2$ y el $9$, etcétera. Observemos que si restamos $7$ (la duración de una semana) a $8$ se obtiene $1$, y que si restamos $7$ a $9$ se obtiene $2$; en otras palabras, el resto de la división entera $8 \div 7$ es $1$, y el resto de la división entera $9 \div 7$ es $2$, lo cual nos lleva a afirmar que $8$ es congruente con $1$ al dividir $8$ entre $7$, ya que el resto de dicha división, $1$, es igual al primer día de la semana, y que $9$ es congruente con $2$ al dividir $9$ entre $7$, pues el resto de la división es precisamente $2$; y, de la misma manera, podemos decir que, dos semanas más después de la primera, $17$ es congruente con $3$ ( miércoles), ya que el resto de la división $17 \div 7$ es igual a $3$.

Escribiremos -en el argot matemático- que $8\equiv 1\,(\text{mod}\,7)$, $9\equiv 2\,(\text{mod}\,7)$, ..., $17\equiv 3\,(\text{mod}\,7)$, etcétera, queriendo significar con ello que $8$ es congruente con $1$ módulo $7$ -$7$ y $1$ pertenecen a la misma clase de resto-; $9$ es congruente con $2$ módulo $7$, ..., $17$ es congruente con $3$ módulo $7$, y por tanto $9$ y $2$ son de la misma clase de resto (resto igual a $2$), y $17$ y $3$ son de otra clase de resto distinta a las otras dos (de resto igual a $3$).

¿Podemos hacer intervenir en todo eso el cero y los números enteros negativos para la indexación que hemos hecho? La respuesta es sí. Démonos cuenta de que el resto de las divisiones enteras $7 \div 7$, $14 \div 7$, $21 \div 7$ es igual a $0$, y, que, por tanto, éste designa también el último día de la semana (el domingo); así por ejemplo, transcurridos $364$ días desde el lunes $1$, el día número $364$ es domingo, puesto que el resto de la división $364 \div 7$ es igual a $0$; esto es, $0\equiv 7\,(\text{mod}\,7)$, $0\equiv 14\,(\text{mod}\,7)$, $0\equiv 21\,(\text{mod}\,7)$, y $0\equiv 364\,(\text{mod}\,7)$.

Los números de indexación enteros positivos y el $0$ nos sirven pues para deducir el día de la semana que será un cierto número de días hacia el futuro, a partir del primer lunes. ¿Y hacia el pasado? Bien, razonemos qué sucede ahora: el día anterior al domingo de la semana anterior a la dada es el sábado, que bien podemos ahora representar con enteros negativos es el sábado, pero como el domingo corresponde al $0$, pues acabamos de ver que $0\equiv 7\,(\text{mod}\,7)$, ese sábado ha de corresponder a $-1$; y si nos situamos un día más hacia atrás -el viernes-, el valor que le asociaremos en buena lógica ha de ser $-2$. Así pues, pensando en el sábado de la semana anterior, cuyos valores de referencia son tanto $-1$ como $6$, tendrá que cumplirse que $-1\equiv 6\,(\text{mod}\,7)$; y pensando en el viernes anterior a dicho sábado -cuyos valores de referencia son tanto $-2$ como $5$, tendrá que cumplirse que $-2\equiv 5\,(\text{mod}\,7)$. Así, podemos remontarnos hacia atrás, utilizando ahora también los enteros negativos, que, no son otra cosa que los restos de las divisiones enteras.

Para realizar esas divisiones enteras y proceder por tanto con mayor eficiencia que el tener que restar sucesivamente $7$ (al número de días transcurridos) el número de veces necesario para quedarnos con la última diferencia -en realidad, tal cosa es una forma de realizar la división entera-, es necesario que recordemos que el teorema de la división entera reza los siguiente:
  Dados dos números enteros $m$ (dividendo) y $n\neq 0$ (divisor), existen dos números enteros $q$ (cociente) y $r \ge 0$, únicos, tales que cumplen:
i)   $r \prec |n|$
ii)   $m = n\cdot q + r$
Así, podemos comprovar que $-2\equiv 5\,(\text{mod}\,7)$ porque al dividir $-2 \div 7$ se obtiene $-1$ de cociente y resto igual a $-2-7\cdot (-1)=5$, lo cual es mucho más rápido que el tener que realizar restas sucesivas.

Generalizando nuestro recuento de clases de resto:
  Dados dos números enteros, $m$ (positivo, negativo o nulo ) y $n\neq 0$, entonces diremos que $m$ es congruente con $r \nless 0$ módulo $n \ge 0$ -y escribiremos $m\equiv r\,(\text{mod}\,n)$- si el resto de la división $m \div n$ es igual a $r$.

Así, por ejemplo, remontándonos hacia atrás (contando desde el último domingo, con índice igual a $0$), podemos deducir que el día $-31$ fue martes (índice positivo igual a $4$), ya que al dividir $-31\div 7$, se obtiene cociente igual a $-5$ y resto igual a $-31-(-7\cdot (-5))=4$, luego $-31 \equiv 4\,(\text{mod}\,7)$ y por tanto ese día (trenta y un días atrás contando desde el último domingo) corresponde a un jueves.

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Un par de propiedades básicas:
Cabe aquí ahora que os hable ahora de algunas propiedades básicas (que no son difíciles de demostrar -¿te atreves?- ), que podemos utilizar para adentrarnos en el fascinante mundo de los números enteros para entender muchas de las proposiciones que podemos encontrar en los libros que tratan sobre ellos:
P1.   Si $a \equiv b\,(\text{mod}\,p)$ y $c\equiv d\,(\text{mod}\,p)$, entonces $a+c \equiv b+d \,(\text{mod}\,p)$
P2.   Si $a \equiv b\,(\text{mod}\,p)$ y $c\equiv d\,(\text{mod}\,p)$, entonces $a\cdot c \equiv b\cdot d \,(\text{mod}\,p)$
Comprobémoslo con un par de ejemplos (puedes cambiar los números, si quieres):
  $10 \equiv 3\,(\text{mod}\,7)$ y $12\equiv 5\,(\text{mod}\,7)$, entonces $10+12=22 \equiv 1 \,(\text{mod}\,7)$, y, en efecto, $3+5=8 \equiv 1 \,(\text{mod}\,7)$
  $10 \equiv 3\,(\text{mod}\,7)$ y $12\equiv 5\,(\text{mod}\,7)$, entonces $10\cdot 12=120 \equiv 1 \,(\text{mod}\,7)$, y, en efecto, $3\cdot 5=15 \equiv 1 \,(\text{mod}\,7)$


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Bibliografía recomendada:
  [1] E.P. ÓZHIGOVA, ¿Qué es la teoría de números (URSS, Moscú, 2004).
  [2] F. ZALDÍVAR, Introducción a la teoría de números (Fondo de Cultura Económica, Mexico D.F., 2012).
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