Área 240. Números idóneos

Una calurosa tarde de junio, en plena ola de calor, en mitad de un largo viaje por carretera, nos detuvimos en un área de descanso de una autopista: el Área 240. Allí encontramos una reparadora sombra, buen café, agua, y una amable sonrisa por parte de la camarera que nos atendió. Centrándonos en el bocadillo de tortilla a la francesa que traíamos ya preparado, los cafés y el agua fresquita que habíamos pedido, enseguida me llamó la antención el nombre del lugar, por el número entero 240, quiero decir. Así que, mientras disfrutaba de estos pequeños y grandes placeres, empecé a pensar en este número par mayor que 2, y que, por tanto, es compuesto (no primo).

Su descomposición factorial es igual a $2^4\cdot 3 \cdot 5$, por lo que enseguida me di cuenta de que tiene muchos divisores, veinte en total (contando el 1): {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240}, y que los números primos más próximos a él son dos primos gemelos: 239 y 241 —recordemos que dos primos se dicen gemelos si la diferencia entre el mayor y el menor es igual a 2—.

Más tarde, ya en nuestra casa, volví a pensar en este número, y me vi rápidamente tentado a ver qué se decía de él en Wolfram|Alpha [1]: en base 2 se escribe de una manera curiosa: 11110000, y, entre otras muchas cosas interesantes, al parecer el polígono regular de 240 vértices puede construirse con procedimientos de regla y compás. La suma de los divisores de 240 es igual a 744, que es otro número par, que no se queda a la zaga en cuanto al número de divisores; tiene 16 divisores: {1,2,3,4,6,8,12,24,31,62,93,124,186,248,372,744}.

Consultando un poco, me di cuenta de que es uno de los números llamados idóneos (o n. convenientes), que son aquellos números m, tales que no son expresables de la forma $ab+bc+ac$ para distintos enteros positivos $a, b$, y $c$. Por cierto, se puede comprobar [2] que $n$ es un número idóneo si todo número entero expresable de manera única como $x^2+n\cdot y^2$ es o bien un número primo, o una potencia de un número primo, o una combinación de ambos, donde $x^2$ y $n\cdot y^2$ son primos relativos (o coprimos) —dos números son coprimos si su máximo común divisor es 1—.

Al parecer, según una conjetura de Gauss, el número de números convenientes (idóneos) es finito. El conjunto de números convenientes conocidos es el siguiente: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848}, y en 1973 Weinberger demostró que a lo sumo existiría uno más, y que de ser cierta la hipótesis generalizada de Riemann, la lista anterior sería completa. $\square$

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Referencias:
[1] Wolfram|Alpha (https://www.wolframalpha.com/).
[2] vv. aa., Números idóneos, Wikipedia (https://es.wikipedia.org/wiki/Número_idóneo).