Consideremos un espacio afín euclídeo $E$, y un endomorfismo afín $f:E\rightarrow E$ siendo la $M$ la matriz asociada con respecto a un sistema de referencia euclídeo $\mathcal{R}$ $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 1&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ 2&\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -1& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$ Es sabido que $f$ es un movimiento. ¿Qué tipo de movimiento es?
La matriz que representa a la aplicación lineal asociada a $f$ es $$\tilde{M}=\begin{pmatrix} \frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$
Podemos comprobar que $\text{det}(\tilde{M})=1$, lo cual nos indica que se trata de un movimiento directo (además de las distancias y la forma, se conserva la orientación de las figuras en la transformación).
Veamos si hay puntos fijos, que recordemos que son los puntos $X\in E$ que cumplan $(M-I)X=0_E$:
$$\left(\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 1&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ 2&\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -1& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{1}{5}\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\right) \begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}
$$
es decir
$$\begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 1&-\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ 2&\frac{2}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -1& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{6}{5}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$
que es lo mismo que
$$\begin{pmatrix} -\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{6}{5}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}$$
Ahora bien,
$\text{rango}\,\begin{pmatrix} -\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ \frac{2}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{6}{5}\end{pmatrix}=2 \neq \text{rango} \left(\begin{array}{ccc|c} -\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}&-\frac{2\sqrt{3}}{5} & -1 \\ \frac{2}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{2\sqrt{3}}{5} & -2 \\ -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{2\sqrt{3}}{5}& -\frac{6}{5} & 1 \end{array}\right)=3$, luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible (no tiene solución), de lo cual se deduce que no hay puntos fijos. Y teniendo en cuenta que, además, es un movimiento directo, dicho movimiento ha de ser un m. helicoidal. $\diamond$
