Ejemplos de resolución de EDOs lineales de segundo orden de coeficientes constantes, no homogéneas

En este ejemplo, muestro el proceso de resolución de tres ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden no homogéneas:
  a) $y^{''}+3y^{'}+2=x+1$
  b) $y^{''}-2y^{'}+1=4x-3$
  c) $y^{''}+y^{'}+1=x^2+2$
Recuérdese que primero se resuelve la EDO lineal homogénea, encontrando su solución, $y_H$; a continuación, hay que encontrar una solución particular $y_P$ de la EDO no homogénea. Finalmente, la solución general de la EDO lineal no homgénea viene dada por $y_G=y_H+y_P$.

(a) Resolución de $y^{''}+3y^{'}+2=x+1$

1. La EDO homogénea es $y^{''}+3y^{'}+2=0$; entonces, haciendo $y=e^{\lambda\,x}$, y por tanto: $y^{'}=\lambda\,e^{\lambda\,x}$ e $y^{''}=\lambda^2\,e^{\lambda\,x}$. Sustituyendo en la e. homogénea, encontramos $(\lambda^2+3\,\lambda+2)\,e^{\lambda\,x}=0\,\therefore\, \lambda^2+3\,\lambda+2=0$, encontrando dos valores reales distintos como solución a esa ecuación algebraica, $\lambda=\left\{\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right.$, por consiguiente se sabe que la s. homogénea es del tipo $y_H=C_1\,e^{\lambda_1\,x}+C_2\,e^{\lambda_2\,x}$, esto es, $y_H=C_1\,e^{-x}+C_2\,e^{-2x}$.
2. Procedo ahora a calcular una solución particular de la ecuación general, para lo cual utilizaré el método de los coeficientes indeterminados. Teniendo en cuenta que el segundo miembro es un polinomio de primer grado, ensayamos un polinomio de grado $1$ como una s. particular: $y_P=Ax+B$, con lo cual $y_{P}^{'}=A$ e $y_{P}^{''}=0$. Sustituyendo en la ecuación general, e igualando los coeficientes de los términos de igual grado, se obtiene $0+3A+2\,(Ax+B)=x+1 \, \therefore\, \left\{\begin{matrix}2A=1\\ 3A+2B=1\end{matrix}\right.$, de lo cual se deduce que $A=\dfrac{1}{2}$ y $B=-\dfrac{1}{4}$; por consiguiente, una solución particular de la ecuación general es $y_P=\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{1}{4}$
3. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea (suma de la solución de la e.d. homogénea) y de una solución particular es: $$y=C_1\,e^{-x}+C_2\,e^{-2x}+ \dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{1}{4}$$

(b) Resolución de $y^{''}-2y^{'}+1=4x-3$

Éste es un caso en el que, como novedad con respecto al apartado anterior, la solución algebraica a la ecuación en $\lambda$ consta de un sólo valor real, con multiplicidad $2$. Se demuestra que, al igual que la expresión del tipo $e^{\lambda \,x}$, también satisface la ecuación diferencial homogénea la expresión $x\,e^{\lambda\,x}$.

1. La EDO homogénea es $y^{''}-2y^{'}+1=0$; entonces, haciendo $y=e^{\lambda\,x}$, y por tanto: $y^{'}=\lambda\,e^{\lambda\,x}$ e $y^{''}=\lambda^2\,e^{\lambda\,x}$. Sustituyendo en la e. homogénea, encontramos $(\lambda^2-2\,\lambda+1)\,e^{\lambda\,x}=0\,\therefore\, \lambda^2-2\,\lambda+1=0$, encontrando un sólo valor real, $\lambda=1$ (con multiplicidad $2$), como solución a la ecuación algebraica, por consiguiente se sabe que la s. homogénea es del tipo $y_H=C_1\,e^{\lambda\,x}+C_2\,x\,e^{\lambda\,x}$, esto es, $y_H=C_1\,e^{x}+C_2\,x\,e^{x}$.
2. Procedo ahora a calcular una solución particular de la ecuación general, para lo cual utilizaré el método de los coeficientes indeterminados. Teniendo en cuenta que el segundo miembro es un polinomio de primer grado, ensayo un polinomio de grado $1$ como solución particular: $y_P=Ax+B$, con lo cual $y_{P}^{'}=A$ e $y_{P}^{''}=0$. Sustituyendo en la ecuación general, e igualando los coeficientes de los términos de igual grado, se obtiene $0-2A+Ax+B=4x-3 \, \therefore\, \left\{\begin{matrix}A=4\\ -2A+B=-3\end{matrix}\right.$, de lo cual se deduce que $B=5$; por consiguiente, una solución particular de la ecuación general es $y_P=4\,x-5$
3. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea (suma de la solución de la e.d. homogénea) y de una solución particular es: $$y=C_1\,e^{x}+C_2\,x\,e^{x}+ 4\,x-5$$

(c) Resolución de $y^{''}+y^{'}+1=x^2+2$

Este último apartado del ejercicio presenta el caso más interesante de los tres, pues, a diferencia de los otros dos, la solución algebraica a la ecuación en $\lambda$ consta de dos valores complejos conjungados. La expresiones del tipo $e^{\lambda_1 \,x}$ y $e^{\lambda_2 \,x}$, siguien satisfaciendo la ecuación diferencial homogénea; sin embargo, habrá que hacer algunos arreglos que veremos a continuación.

1. La EDO homogénea es $y^{''}+y^{'}+1=0$; entonces, haciendo $y=e^{\lambda\,x}$, y, derivándola dos veces: $y^{'}=\lambda\,e^{\lambda\,x}$ e $y^{''}=\lambda^2\,e^{\lambda\,x}$, como en los demás casos. Sustituyendo en la e. homogénea, encontramos $(\lambda^2+\lambda+1)\,e^{\lambda\,x}=0\,\therefore\, \lambda^2+\,\lambda+1=0$, cuyas soluciones son, $\lambda_1=\dfrac{-1+i\,\sqrt{3}}{2}$ y $\lambda_1=\dfrac{-1-i\,\sqrt{3}}{2}$, por consiguiente se sabe que la s. homogénea, que es del tipo $y_H=C_1\,e^{\lambda_1\,x}+C_2\,x\,e^{\lambda_2\,x}$, es $y_H=C_1\,\,e^{-x/2}\,e^{i\,\sqrt{3}/2\,x}+C_2\,\,e^{-x/2}\,e^{-i\,\sqrt{3}/2\,x}$, que, por la fórmula de Euler, puede escribirse de la forma $y_H=C_1\,\,e^{-x/2}\,\left( \cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)+i\,\sin(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,x)\right)+C_2\,\,e^{-1/2}\,\left( \cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)-i\,\sin(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,x)\right)=$
     $=e^{-x/2}\left( (C_1+C_2)\,\cos( \dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x ) + i\,(C_1-C_2)\,\sin( \dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x )\right)$. Desde luego, las constantes arbitrarias $C_1$ y $C_2$ pueden ser complejas, y por tanto, conllevan cuatro cantidades desconocidas (las dos partes reales y las dos partes imaginarias), que no pueden ser independientes entre sí. Para salvar esta pega elegimos dichas constantes (arbitrarias), de manera que una sea la compleja conjugada de la otra, por lo que podemos expresar esas cuatro cantidades como dos constantes reales haciendo $A\overset{.}{=}C_1+C_2$ y $B\overset{.}{=}(C_1-C_2)\,i$. Mediante esta estratagema, podemos escribir la solución a esta e. diferencial homogénea de la forma $$y_H=e^{-x/2}\,\left(A\,\cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)+B\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)\right)$$ espresión que también puede ponerse de otra manera equivalente que puede resultar práctica en según que casos; se trata de multiplicar y dividir por $\mu\overset{.}{=}\sqrt{A^2+B^2}$ en el segundo miembro de la igualdad anterior; de esta forma, $y_H=\mu\,e^{-x/2}\,\left(\dfrac{A}{\mu}\,\cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)+\dfrac{B}{\mu}\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)\right)$, pues interpretando $\mu$ como el módulo de un cierto vector, por significado trigonométrico, aparece una cantidad (angular) $\lambda$ que nos viene bastante bien y que cumple que $\dfrac{A}{\mu}=\sin\,(\delta)$ y $\dfrac{B}{\mu}=\cos\,(\delta)$. Así, de forma equivalente, podremos escribir también: $$y_H=\mu\,e^{-x/2}\,\left(\sin(\delta)\,\cos(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x)+\cos(\delta)\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x) \right)=\mu\,e^{x/2}\,\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x+\delta)$$ donde, ahora, con estas transformaciones algebraicas, las constantes arbitrarias son $\mu$ y $\delta$, pudiendo interpretar esta última como un ángulo de fase.
2. Procedo ahora a calcular una solución particular de la ecuación general, para lo cual utilizaré el método de los coeficientes indeterminados. Teniendo en cuenta que el segundo miembro es un polinomio de segundo grado, ensayo un polinomio de grado $2$ como solución particular: $y_P=Ax^2+Bx+C$, con lo cual $y_{P}^{'}=2Ax+B$ e $y_{P}^{''}=2A$. Sustituyendo en la ecuación general, e igualando los coeficientes de los términos de igual grado, se obtiene $y^{''}+y^{'}+1=x^2+2 \, \therefore\, \left\{\begin{matrix}A=1\\ 2A+B=0 \\ 2A+B+C=0\end{matrix}\right.$, de lo cual se deduce que $B=-2$ y $C=2$; por consiguiente, una solución particular de la ecuación general es $y_P=x^2-2x+2$
3. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea (suma de la solución de la e.d. homogénea) y de una solución particular es: $$y=\mu\,e^{x/2}\,\,\sin(\dfrac{ \sqrt{3}}{2}\,x+\delta)+ x^2-2x+2$$

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Referencias:

  [1] N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón, S.A., Barcelona, 1978.
  [2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias; tercera edición traducida al castellano. Editorial Mir, Moscú, 1979.
  [3] J.B. Marion, Mecánica clásica de las partículas y sistemas, Reverté, Barcelona, 1998.