Un ejemplo de aplicación del método de los multiplicadores de Lagrange para optimizar una función de varias variables, con una restricción

Se considera una esfera de radio $1$ centrada en el origen de coordenadas, y, por tanto, de ecuación $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1$. Nos proponemos encontrar el punto (o puntos) del espacio de la superficie de dicha esfera cuya distancia al punto $P(1,1,1)$ —observemos que no forma parte de la superficie de la esfera— sea mínima o bien máxima.

La distancia de un punto $(x,y,z)$ de la superficie de la esfera a $P(1,1,1)$ es mínima cuando el cuadrado de la misma también es mínima —esto simplificará las cosas—, es decir, cuando la función distancia al cuadrado $f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$ toma el valor mínimo.

Es sabido que, definida la función auxiliar $h(x,y,z)=f(x,y,z)-\lambda(g(x,y,z)-1)$ (donde $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange asociado a la restricción de los puntos de la esfera), si dicho mínimo (máximo) existe, entonces debe satisfacer las siguientes condiciones: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{\partial\,h}{\partial\,x}=0\\ \dfrac{\partial\,h}{\partial\,y}=0 \\ \dfrac{\partial\,h}{\partial\,z}=0 \\ \dfrac{\partial\,h}{\partial\,\lambda}=0\end{matrix}\right.$$ sistema de ecuaciones en $\{x,y,z,\lambda\}$ el el que $\lambda$ toma el papel de una variable algebraica. Dicho de otro modo, $$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}-\lambda\,\dfrac{\partial\,g}{\partial\,x}=0 \\ \dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}-\lambda\,\dfrac{\partial\,g}{\partial\,y}=0 \\ \dfrac{\partial\,f}{\partial\,z}-\lambda\,\dfrac{\partial\,g}{\partial\,z}=0 \\ x^2+y^2+z^2-1=0 \end{matrix}\right.$$ y, calculando las derivadas parciales, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 2\,(x-1)-2\,\lambda\,x = 0 \\ 2\,(y-1)-2\,\lambda\,y = 0 \\ 2\,(z-1)-2\,\lambda\,z = 0 \\ x^2+y^2+z^2-1=0 \end{matrix}\right.$$ o lo que es lo mismo, $$\left\{\begin{matrix} (1-\lambda)\,x= 1 \\ (1-\lambda)\,y= 1 \\ (1-\lambda)\,z= 1 \\ x^2+y^2+z^2-1=0 \end{matrix}\right.$$ por tanto $$x=y=z=\dfrac{1}{1-\lambda}\,,\,\lambda\neq 1$$ Substituyendo en la cuarta ecuación, $$3\,\left(\dfrac{1}{1-\lambda}\right)^2=1 \Rightarrow (1-\lambda)^2=3 \Rightarrow \lambda=1\pm \sqrt{3}$$ Luego, los puntos de máximo/mínimo son $$(x^*,y^*,z^*)=\left\{\begin{matrix}A(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})\\ B(-1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3}) \end{matrix}\right.$$ Puede comprobarse es el punto de la superfice esférica que se encuentra a la mínima distancia de $P$, mientras que $B$ es el punto de la superficie esférica que tiene una distancia máxima a $P$.$\diamond$

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Referencias:

  [1] J.E. Marsden; E.J. Tromba, Cálculo vectorial, Pearson Educación S.A., Madrid, 2004.
  [2] vv.aa., Multiplicadors de Lagrange               [https://ca.wikipedia.org/wiki/Multiplicadors_de_Lagrange], Wikipedia, 2022.
  [3] H. Goldstein, Mecánica clásica, Reverté, Barcelona, 1990.