Recta tangente y plano normal a una curva en un punto dado, en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$

En este artículo describo cómo calcular la recta tangente y el plano normal en un punto dado a una curva helicoidal (curva en el espacio $\mathbb{R}^3$); si bien, para cualquier otra curva dada en coordenadas paramétricas, se seguiría el mismo procedimiento. Y, para terminar, también expondré el cálculo de la curvatura, $\mathcal{K}$, y de la torsión, $\mathcal{T}$.

Consideremos la curva helicoidad (hélice) cuyas ecuaciones paramétricas (en función del parámetro $t\in \mathbb{R}$ son $\left\{\begin{matrix}x(t)=\cos\,t\\y(t)=\sin\,t\\z(t)=t\end{matrix}\right.$. Nos proponemos obtener la ecuación de la recta tangente y la del plano normal en el punto $P$ correspondiente a $t=\dfrac{\pi}{6}$.

Es sabido que la ecuación de la recta tangente, $r_P$, en un punto $P$ viene dada por $$r_P\equiv \dfrac{x-x_P}{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)_{P}}=\dfrac{y-y_P}{\left(\dfrac{dy}{dt}\right)_{P}}=\dfrac{z-z_P}{\left(\dfrac{dz}{dt}\right)_{P}}\quad \quad (1)$$ y, teniendo en cuenta que la recta tangente (y por tanto su vector director) en $P$ es perpendicular al plano normal, $\sigma_P$, pedido en ese mismo punto, deberá cumplirse que el producto escalar euclídeo de cualquier vector del plano con el vector director de la r. tangente ha de ser nulo: $$\left( \left(\dfrac{dx}{dt}\right)_P, \left(\dfrac{dy}{dt}\right)_P, \left(\dfrac{dz}{dt}\right)_{P}\right) \cdot \left( x-_P,y-y_P,z-z_P\right)=0$$ con lo cual $$\sigma_P\equiv\left(\dfrac{dx}{dt}\right)_P\, (x-x_P)+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)_P\, (y-y_P)+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)_P\, (z-z_P)=0 \quad \quad (2)$$ Calculemos ahora lo que nos hace falta para montar las ecuaciones:
$\dfrac{dx}{dt}=-\sin\,t$, luego $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)_P=-\sin\,\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{dy}{dt}=\cos\,t$, luego $\left(\dfrac{dy}{dt}\right)_P=\cos\,\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{dy}{dt}=1$, luego $\left(\dfrac{dz}{dt}\right)_P=1$
Por otra parte, el punto en cuestión tiene por coordenadas:
$x_P=\cos\,\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$y_P=\sin\,\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$
$z_P=\dfrac{\pi}{6}$
Entonces, (1) y (2) nos quedan: $$r_P\equiv \dfrac{x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-1/2}=\dfrac{y-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{z-\dfrac{\pi}{6}}{1}$$ que puede escribirse también de la forma $$r_P\equiv \dfrac{x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-1}=\dfrac{y-\dfrac{1}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{z-\dfrac{\pi}{6}}{2} \quad \quad (1')$$ y $$\sigma_P\equiv -\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt{3}\,\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+2\,\left(z-\dfrac{\pi}{6}\right)=0 \quad \quad (2')$$

Calculemos ahora la curvatura (el radio de curvatura) de esta curva. Es sabido que (véase [1]), si la curva viene dada en coordenadas paramétricas de parámetro $t$, la expresión de la curvatura es $$\mathcal{K}^2=\dfrac{1}{R^2}\, \dfrac{\left| \dfrac{d\vec{r}} {dt} \times \dfrac{d^2\,\vec{r}} {dt^2} \right|} {\left(\left( \dfrac{d\vec{r}}{dt}\right)^2\right)^3}$$ y la torsión (o radio de torsión), $\mathcal{T}$, viene dada por la fórmula $$\dfrac{1}{\mathcal{T}}= -\dfrac{\dfrac{d\vec{r}} {dt} \cdot \left( \dfrac{d^2\,\vec{r}} {dt^2} \times \dfrac{d^3\,\vec{r}} {dt^3} \right)} {\left( \dfrac{d\vec{r}}{dt} \times \dfrac{d^2\,\vec{r}} {dt^2} \right)^2}$$

Los cálculos anteriores (que omito) llevan a los siguientes resultados: $\mathcal{K}=2=$constante (el radio de curvatura es constante), y $\mathcal{T}=-2=$constante; y, como es distinta de cero, es claro que se trata de una curva alabeada (y no plana).

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Referencias:

  [1] N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón, S.A., Barcelona, 1978.
  [2] S. Lipschutz, Geometría diferencial, McGraw-Hill, México, 1976.
  [3] A. Vera López, Un curso de geometría diferencial: curvas y superficies, Editorial AVL, Bilbao, 1993.