Acerca de la raíz cuadrada. Algunas reflexiones no al uso

Habitualmente, se define la raíz cuadrada de un número real no negativo como el número real no negativo que elevado al cuadrado es igual al argumento de la raíz cuadrada. Podemos comprobar que al teclear en la calculadora la raíz cuadrada de cuatro, el resultado es $2$; sin embargo, podemos también definir la raíz cuadrado (de un número real no negativo) de otras dos maneras (no al uso) que son sin embargo consistentes con la interpretación funcional de función recíproca y con la fórmula de las soluciones de una ecuación cuadrática completa (ecuación algebraica de segundo grado). En este artículo, intento convencer de ello.

1. Definición al uso: la raíz cuadrada como función definida entre el conjunto de los números reales no negativos y este mismo conjunto

La operación raíz cuadrada, entendida de esta manera, obedece a esta función: $\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^- \overset{\sqrt{.}}{\rightarrow} \mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^{-};x \mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$

Esta definición de raíz cuadrada es la más habitual; no es otra que la que se implementa en las calculadoras.

No tiene sentido asignar valores negativos al resultado de una raíz cuadrada. Esto es así, porqué, entendiendo la raíz cuadrada como la función recíproca, $f^{-1}$,de la función $f:\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^{-} \rightarrow \mathbb{R}; x\mapsto x^2$. Así, por ejemplo, $\sqrt{4}=2$, habida cuenta de que $2^2=4$

Ahora bien, a la hora de calcular las raíces de una función cuadrática (resolviendo la ecuación cuadrática que se obtiene al igual a cero los valores de función) aparecen dos valores, iguales y de signo opuesto; por ejemplo, es bien sabido que las raíces de la función $g(x)=x^2-4$ son dos, $-2$ y $2$, y, en el proceso de resolución de la ecuación interviene la operación raíz cuadrada (tal como acabamos de definir: como la función recíproca de la función $x^2$. Esto puede parecer contradictorio con lo que se acaba de decir arriba, con la propia definición de la raíz cuadrada. En realidad, no es así: a partir de $x^2-4=0$ (ecuación a resolver para encontrar las raíces de $g(x)$, se sigue que $x^2=4$, y, aplicando la operación raíz cuadrada (tal cual ha sido definida aquí) al objeto de desprendernos de la potencia al cuadrado, podemos escribir que $\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$; esto es, $\sqrt{x^2}=2$. Y aquí es donde aparece la sutileza que incide en la aparición de los dos valores que forman parte de la solución, $-2$ y $2$ (no sólo el $2$): démonos cuenta de que $\sqrt{x^2}=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$, que, por cierto, es la definición de valor absoluto de un número real: $$|x|:=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.=\sqrt{x^2}$$

Bien pues, nuestra ecuación puede reescribirse de la forma $2=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$, que podemos escribir de manera más compacta como $x=\pm2$ (de ahí, los dos valores iguales pero de signo opuesto) que esperamos encontrar como raíces de la función cuadrática del ejemplo.

Como es bien sabido, en la fórmula que se aplica para resolver una ecuación cuadrática completa, $ax^2+bx+c=0$ (siendo $a,b$ y $c$, números reales) en el conjunto de los números reales, y que es $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, aparece el signo $+$ y el signo $-$, siendo ello compatible con esta definición de la raíz cuadrada. Al escribir ambos símbolos delante de la raíz cuadrada, que, según esta definición, es siempre positiva, nos podemos quedar un poco perplejos, pues parece esto una contradicción. Una vez más, como en el caso sencillo comentado, no incurrimos en ninguna contradicción. Recordemos, para cercioranos de ello, el breve proceso de transformaciones algebraicas que conducen a dicho resultado:

Dividiendo, miembro a miembro, $ax^2+bx+c=0$ entre $a$, podemos escribr la ecuación equivalente $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$. Entonces, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+c=0$, esto es, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-c$, que es lo mismo que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}$. Aplicando ahora la raíz cuadrada (según la definición de la que estamos hablando) a ambos miembros, conseguiremos deshacernos del cuadrado del primer miembro (que involucra la incógnita): $\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, luego, por lo dicho antes, se llega a $\left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a} & \text{si} & x+\dfrac{b}{2a} \ge 0 \\ \text{o bien} \\ -\left(x+\dfrac{b}{2a}\right) & \text{si} & x+\dfrac{b}{2a} \lt 0 \end{matrix}\right.=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, que es lo mismo que escribir: $x+\dfrac{b}{2a}=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, y por tanto, $x=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

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2. La raíz cuadrada como función definida entre el conjunto de los números reales no negativos y el conjunto de los números reales no positivos

La operación raíz cuadrada, entendida de esta manera, obedece a esta función: $\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^- \overset{\sqrt{.}}{\rightarrow} \mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^{+};x \mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}^{-}\cup \{0\}$

Esta definición de raíz cuadradano no es, desde luego, la habitual, pero es interesante que nos fijemos en el ella, como un buen ejercicio de reflexión y comprensión de los conceptos.

Ahora, a diferencia del caso anterior (que es la definición al uso), no tiene sentido asignar valores positivos al resultado de una raíz cuadrada, sino valores negativos (o, también el cero, por supuesto). Esto es así, porqué, entendemos (como en el caso anterior) la raíz cuadrada como la función recíproca, $f^{-1}$,de la función $f:\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^{-} \rightarrow \mathbb{R}; x\mapsto x^2$. Así, por ejemplo, ahora, $\sqrt{4}=-2$, habida cuenta de que $(-2)^2=4$.

A la hora de calcular las raíces de una función cuadrática (resolviendo la ecuación cuadrática que se obtiene al igual a cero los valores de función) aparecen dos valores, iguales y de signo opuesto; por ejemplo, es bien sabido que las raíces de la función $g(x)=x^2-4$ son dos, $-2$ y $2$, y, en el proceso de resolución de la ecuación interviene la operación raíz cuadrada (tal como acabamos de definir: como la función recíproca de la función $x^2$. Esto puede parecer contradictorio con lo que se acaba de decir arriba, con la propia definición de la raíz cuadrada. En realidad, no es así: a partir de $x^2-4=0$ (ecuación a resolver para encontrar las raíces de $g(x)$, se sigue que $x^2=4$, y, aplicando la operación raíz cuadrada (tal cual ha sido definida aquí) al objeto de desprendernos de la potencia al cuadrado, podemos escribir que $\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$; esto es, $\sqrt{x^2}=-2$. Y aquí, como antes, es donde aparece la sutileza que incide en la aparición de los dos valores que forman parte de la solución, $-2$ y $2$ (no sólo el $-2$): démonos cuenta de que $\sqrt{x^2}=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$. Por consiguiente, ahora, $-2=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$, que podemos escribir de manera más compacta como $x=\mp2=\pm2$ (de ahí, los dos valores iguales pero de signo opuesto) que esperamos encontrar como raíces de la función cuadrática del ejemplo, que, como vemos, son los mismos que si utilizamos la definición al uso de la raíz cuadrada.

Veamos ahora como también así (con esta definición no al uso de la raíz cuadrada) se obtiene igualmente la fórmula que se aplica para resolver una ecuación cuadrática completa, $ax^2+bx+c=0$ (siendo $a,b$ y $c$, números reales) en el conjunto de los números reales, y que es $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, aparece el signo $+$ y el signo $-$ (no únicamente el negativo). Al escribir ambos símbolos delante de la raíz cuadrada, que, según esta concepción de la raíz cuadrada, es siempre negativa, nos provocará sin duda una cierta sorpresa, pues, como en el primer caso, nos parece esto una contradicción. Una vez más, vemos que no incurrimos en ninguna contradicción. Repasemos el proceso de transformaciones algebraicas que conducen a dicho resultado (la fórmula de las soluciones de la ecuación cuadrática):

Dividiendo, miembro a miembro, $ax^2+bx+c=0$ entre $a$, podemos escribr la ecuación equivalente $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$. Entonces, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+c=0$, esto es, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-c$, que es lo mismo que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}$. Aplicando ahora la raíz cuadrada (según la definición de la que estamos hablando) a ambos miembros, conseguiremos deshacernos del cuadrado del primer miembro (que involucra la incógnita): $\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=-\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, luego, por lo dicho antes, se llega a $\left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a} & \text{si} & x+\dfrac{b}{2a} \ge 0 \\ \text{o bien} \\ -\left(x+\dfrac{b}{2a}\right) & \text{si} & x+\dfrac{b}{2a} \lt 0 \end{matrix}\right.=-\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, que es lo mismo que escribir: $x+\dfrac{b}{2a}=\pm \left(-\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)$, y por tanto, $x=\dfrac{-b\pm (-\sqrt{b^2-4ac}) }{2a}=\dfrac{-b\mp \sqrt{b^2-4ac} }{2a}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

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3. La raíz cuadrada como una correspondencia bivaluada entre el conjunto de los números reales no negativos y el conjunto de los números reales

También podemos entender la raíz cuadrada como la correspondencia, no como una función en sentido estricto (si acaso como una «función» bivaluada), $\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^- \overset{\sqrt{.}}{\rightarrow} \mathbb{R};x \mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}$

Así, por ejemplo, $\sqrt{4}=\left\{\begin{matrix}2 \\ -2\end{matrix}\right.$; y, a pesar de que no tiene sentido aquí hablar de funciones recíprocas (la raíz cuadrada así concebida no es ni siquiera una función), sí que podemos pensar que ésta da como resultado los dos números reales (de signo opuesto) tales que al ser elevados al cuadrado se obtiene el argumento de la raíz cuadrada así entendida: esto es, $2^2=(-2)^2=4$. Con lo cual, bien podríamos decir que, en el ejemplo escogido, $\sqrt{2}=\left\{ \begin{matrix} |\sqrt{4}|=2 \\ \text{y} \\ -|\sqrt{4}|=-2\end{matrix}\right.$, ya que, de acuerdo con esta definición de raíz cuadrada, ambos valores, $2$ y $-2$, responden a la pregunta «qué números reales cumplen el que al ser elevados al cuadrado se obtenga el número $4$», que no son otros que $-2$ y $2$, ya que $2^2=4$ y $(-2)^2=4$.

Veamos ahora, y de acuerdo con esta otra manera de entender la raíz cuadrada, cómo escribiríamos la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática completa $ax^2+bx+c=0$:

Dividiendo, miembro a miembro, $ax^2+bx+c=0$ entre $a$ (como hacíamos en el apartado anterior), podemos escribr la ecuación equivalente $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$. Entonces, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+c=0$, esto es, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-c$, que es lo mismo que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}$. Aplicando ahora la raíz cuadrada (según esta otra definición) a ambos miembros: $\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\pm \dfrac{\left| \sqrt{b^2-4ac} \right|}{2a} $, luego $x+\dfrac{b}{2a}=\pm \dfrac{\left| \sqrt{b^2-4ac} \right|}{2a} $ y por tanto $x=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\left| \sqrt{b^2-4ac} \right|}{2a} $, esto es, $x=\dfrac{-b \pm \left| \sqrt{b^2-4ac} \right|}{2a} $

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