Un ejercicio de aplicación de la función W de Lambert a la resolución aproximada de una ecuación trascendente

La función especial $W$ de Lambert se define de la siguiente manera: la función inversa (recíproca) de la función $f(x)=x\,e^x$ es $f^{-1}(x):=W(x)$, o lo que es lo mismo, si $y=x\,e^x$, se tiene que $W(y)=x$; dicho de otra forma: $W(x\,e^x)=x$, lo cual, también, lleva a poder escribir que $W(x)\,e^{W(x)}=x$ (siendo, en general, $x \in \mathbb{C}$). Dicha función tiene varias ramas, y sus valores pueden calcularse mediante algoritmos de cálculo numérico, que, al final, deberemos utilizar la mayor parte de las veces que necesitemos emplear dicho recurso. Suelo recurrir a la utilidad en línea WolframAlpha para esta finalidad.

A modo de ejercicio práctico, voy a utilizar la función $W$ de Lambert en este artículo para resolver la ecuación trascendente $2^x=\dfrac{1}{x}$, en el conjunto de los números reales. Para ello tendremos que trabajar un poco con el álgebra elemental para escribir la ecuación de tal manera que la aplicación de la propiedad reseñada arriba pueda utilizarse de manera bien clara:

$2^x=\dfrac{1}{x}$
  $x\,2^x=1 \quad (1)$
    $x\,\left(e^{\ln\,2}\right)^x=1$, habida cuenta de que $2\equiv e^{\ln\,2}$
      $x\,e^{x\,\ln\,2}=1$
        $(x\,\ln\,2)\,e^{x\,\ln\,2}=1\cdot \ln\,2$
          $W\left((x\,\ln\,2)\,e^{x\,\ln\,2}\right)=W(\ln\,2)$
            $x\,\ln\,2=W(\ln\,2)$
              $x=\dfrac{W(\ln\,2)}{\ln\,2}$
Consultando el valor de la función de Lambert para $\ln\,2$, vemos que $W(\ln\,2)\approx 0,4444$, lo cual lo he hecho mediante el asistente en línea WolframAlpha:

  W_0(log(2))
  Aproximación decimal
  0, 4444360910188604811868963306448808771676930202799304144725290184...

Por tanto, una aproximación del resultado exacto es $\dfrac{W(\ln\,2)}{\ln\,2}\approx 0,6411$

Comentario:
Dibujando las gráficas que corresponden a la función del miembro izquierdo, $f(x)=x\,2^x$, y derecho, $g(x)=1$ de $(1)$ se ve claramente que se intersecan en un sólo punto; así pues, la abscisa del mismo corresponde a la solución exacta encontrada.

Comprobación:

Sustituyendo este valor en la ecuación original: $2^{0,6411} \overset{?}{=} \dfrac{1}{0,6411}$. Vemos que el resultado aproximado puede darse por satisfactorio, pues el valor del primer miembro de la igualdad aproximada es $1,5595$, y el del segundo miembro es igual a $1,5598$, que difieren en tres diezmilésimas.

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Referencias:

  [1]   [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/especial/lambert/lambert.html]
  [2]   [https://es.wikipedia.org/wiki/Función_especial]

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