Ejercicios sobre bases de un espacio vectorial finito. La función delta de Kronecker y los sumatorios

Se considera una base $\mathcal{B}=\{\mathbf{u_1,u_2,\ldots,u_n}\}$ (a diferencia de los escalares, representamos los vectores en letra negrita) de un espacio vectorial $E$ de dimensión $n\gt 1$. Vamos a ejercitarnos demostrando que cualquier vector de dicha base, $\mathbf{u_i}$ ($i=1,\ldots,n$) puede escribirse de la forma $\displaystyle \mathbf{u_i}=\sum_{j=1}^{n}\,\delta_{ij}\,\mathbf{u_j}$.

Nota: Recordemos que la función delta de Kronecker se define de la forma $\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ \rightarrow \{0,1\} \mapsto \delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1 \;\;\text{si}\;\; i=j \\ 0 \;\;\text{si}\;\; i \neq j\end{matrix}\right.$

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\,\delta_{ij}\,\mathbf{u_j}=\delta_{i1}\,\mathbf{u_1}+\delta_{i2}\,\mathbf{u_2}+\ldots+\delta_{ii}\,\mathbf{u_i}+\delta_{i\,i+1}\,\mathbf{u_{i+1}}+\ldots+\delta_{in}\,\mathbf{u_n}=$
  $=0\cdot \mathbf{u_1}+0\cdot \mathbf{u_2}+\ldots+1\cdot \mathbf{u_i}+0\cdot \mathbf{u_{i+1}}+\ldots+0\cdot \mathbf{u_n}=\mathbf{u_i}. \diamond$

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Referencias

  [1] S. Lipschutz, Geometría diferencial, McGraw-Hill (serie Shaum), México D.F., 1991.