Ecuaciones diferenciales de primer orden, de tipo $P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0$, que no son exactas, pero que poseen un factor integrante $\mu(x,y)$

Recordemoas que una EDO $P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0\;\;\;(1)$ es de tipo diferencial exacta si existe una función $U:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ de clase $\mathcal{C}^2$ (existen todas sus derivadas parciales de orden $2$ y son continuas) a la que se denomina función potencial que cumpla: $\dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y)$ y $\dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y)$, y como ya vimos, puede afirmarse que la condición necesaria y suficiente para que la e. sea diferencial exacta es $\dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}$, en cuyo caso la solución general de la EDO viene dada por $U(x,y)=C$, donde $C$ es una constante arbitraria.

En el caso de que dicha ecuación diferencial no sea exacta, es sin embargo posible, a veces (no siempre), encontrar una función $\mu(x,y)$ a la que denominamos factor integrante tal que la ecuación diferencial $\mu(x,y)\,P(x,y)\,dx+\mu(x,y)\,Q(x,y)\,dy=0$ verifique la condición necesaria y suficiente que habíamos visto que cumplían las EDOSs exactas

$$\displaystyle \dfrac{\partial\,\left(\mu(x,y)\,P(x,y)\right)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,\left(\mu(x,y)\,Q(x,y)\right)}{\partial\,x}$$

Esa nueva ecuación que obtendremos ya no es, en principio, una ecuación diferencial parcial, sino que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP):

$$\displaystyle \left( \dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y} - \dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x} \right)\,\mu(x,y)+P(x,y)\,\dfrac{\partial\,\mu(x,y)}{\partial\,y}-Q(x,y)\,\dfrac{\partial\,\mu(x,y)}{\partial\,x}=0\;\;\;(2)$$ la cual tiene como solución el propio factor integrante $\mu(x,y)$.

Ahora bien, lógicamente, integrar esta nueva ecuación (y por tanto, encontrar dicho factor integrante, $\mu(x,y)$) puede representar una dificultad añadida a la de partida; sin embargo, si pudiésemos encontrar un factor integrante (de ser posible tal cosa) de manera que éste lo hiciésemos depender de una sola de las dos variables o bien de una combinación apropiada de las dos (de su producto), la nueva ecuación se convertiría a su vez en una ecuación diferencial ordinaria, que también sería exacta, y por tanto podríamos calcular su solución general de manera asequible.

Pero, cuidado, la solución de (2) puede aportar soluciones (adicionales) que no forman parte de la solución general de (1), o bien pueden no incluir soluciones que deberían estar en la solución general de (1). Si el proceso de obtención del factor integrante $\mu(x,y)$ tiene éxito (que recordemos que sería la solución de (2)) deberemos contrastar dicha solución, comprobando que es también la solución general de la ecuación original (1). $\diamond$

Ejemplo:

Consideremos la ecuación diferencial $\mathcal{E}:\,y\,dx+(x^2\,y-x)\,dy=0$ y tratemos de resolverla. Veamos, primero, si es una ecuación diferencial exacta; teniendo en cuenta que $P(x,y):=y$ y $Q(x,y):=x^2\,y-x$, se tiene que $\displaystyle \dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,y}{\partial\,y}=1\neq \dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}=2\,x\,-1$, y al incumplirse la condición necesaria y suficiente para que lo sea, podemos afirmar que no se trata de una ecuación diferencial exacta.

Veamos, sin embargo, si conseguimos encontrar un factor integrante $\mu(x,y)$ tal que al multiplicar ambos miembros de $\mathcal{E}$, obtenemos otra ecuación diferencial $\overset{\sim}{\mathcal{E}}:\,\mu(x,y)\,y\,dx+\mu(x,y)\, (x^2\,y-x)\,dy=0$ que sí lo sea. Tratemos de encontrar un factor integrante de tal manera que solo dependa de una de las dos variables, en concreto de $x$; esto es, $\mu(x,y):=\mu(x)$. Las nuevas funciones con las que trabajaremos son pues $\overset{\sim}{P}(x,y):=y\,\mu(x)$ y $\overset{\sim}{Q}(x,y):=(x^2\,y-x)\,\mu(x)$.

Para que $\mathcal{E}$ sea exacta deberá cumplirse que $\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{P}(x,y) } {\partial\,y}=\dfrac{\partial\,\overset{\sim}{Q}(x,y) } {\partial\,x}$. Calulemos las derivadas parciales:
$\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{P}(x,y)}{\partial\,y}=P(x,y)\,\dfrac{\partial\,\mu(x)}{\partial\,y}+\mu(x)\,\dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=0+1\cdot \mu(x)=\mu(x)$
$\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{Q}(x,y)}{\partial\,x}=Q(x,y)\,\dfrac{d\,\mu(x)}{d\,x}+\mu(x)\,\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}=\mu'(x)\cdot (x^2\,y-x)+\mu(x)\cdot(2\,x\,y-1)$
Igualando se tiene que $\mu(x)=\mu'(x)\cdot (x^2\,y-x)+\mu(x)\cdot(2\,x\,y-1)$, y ordenando los términos y simplificando,
$\mu(x)\,(1-2\,x\,y+1)=\mu'(x)\,(x^2\,y-x)$
  $2\,\mu(x)\,(1-\,x\,y)=\mu'(x)\,x\,(x\,y-1)$
    $-2\,\mu(x)\,(x\,y-1)=\mu'(x)\,x\,(x\,y-1)$
      $\left(-2\,\mu(x)-x\,\mu'(x)\right)\,(x\,y-1)=0 \Leftrightarrow 2\,\mu(x)+x\,\mu'(x)=0 \Rightarrow 2\,\mu(x)dx=-x\,d\,\mu(x)$ que es una ecuación de variables separables, luego $\displaystyle\,\int\,\dfrac{d\,\mu}{\mu}=-2\,\int\,\dfrac{d\,x}{x}+\text{constante}$; esto es $2\,\ln\,x+\ln\,\mu=\ln\,k$, donde $k$ es una constante (arbitraria), luego $\ln\,(x^2\,\mu)=\ln\,k$ y por tanto $x^2\,\mu=k$; con lo cual $\mu=\dfrac{k}{x^2}$, y eligiendo un valor cualquiera para $k$, pongamos que $k:=1$, encontramos un factor integrante: $\mu(x)=\dfrac{1}{x^2}$

La ecuación diferencial que, ésta sí, es exacata es pues $\displaystyle \mathcal{\overset{\sim}{\mathcal{E}}}:\,\dfrac{y}{x^2}\,dx+\dfrac{x^2\,y-x}{x^2}\,dy=0$. Para encontrar su solución general, $\overset{\sim}{U}(x,y)=C$ (donde $C$ es la constante de integración), tenemos que encontrar la función potencial $\overset{\sim}{U}(x,y)$, la cual sabemos que cumplirá la condición necesaria y suficiente de e. diferencial exacta: $\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,x}=\overset{\sim}{P}(x,y)$, esto es, $\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,x}=\dfrac{y}{x^2}$; y $\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,y}=\overset{\sim}{Q}(x,y)$, es decir, $\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{x^2\,y-x}{x^2}$.

De la primera se tiene que, integrando con respecto a $x$, $\displaystyle \overset{\sim}{U}(x,y)=\int\,\dfrac{y}{x^2}\,dx+\Phi(y)=-\dfrac{y}{x}+\Phi(y)$. Por otra parte, de $\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,y}=\overset{\sim}{Q}(,y)$, se tiene que $\displaystyle \dfrac{\partial\,\left(-\dfrac{y}{x}+\Phi(y) \right)}{\partial\,y}=\dfrac{x^2\,y-x}{x^2}$ y por tanto,
$-\dfrac{1}{x}+\Phi'(y)=\dfrac{x^2\,y-x}{x^2}$ y simplificando el segundo miembro,
  $\displaystyle -\dfrac{1}{x}+\Phi'(y)=y-\dfrac{1}{x} \Rightarrow \Phi'(y)=y \Rightarrow \Phi(y)=\int\,y\,dy+\text{constante} =\dfrac{1}{2}\,y^2+\text{constante}$; eligiendo el valor de esta constante (arbitraria) igual a cero y sustituyendo se llega la función potencial $\overset{\sim}{U}(x,y)=-\dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{2}\,y^2$, y por tanto a la solución general (familia de curvas integrales): $\dfrac{1}{2}\,y^2-\dfrac{y}{x}=C$

Puede comprobarse que la solución que hemos encontrado para $\mathcal{\overset{\sim}{E}}$, también es la solución general de $\mathcal{E}$; en efecto, podemos escribir $\mathcal{E}:\,y\,dx+(x^2\,y-x)\,dy=0$ de la forma equivalente $y+(x^2\,y-x)\,\dfrac{dy}{dx}=0$, es decir, $y+(x^2\,y-x)\,y'=0 \;\;\;(3)$. Derivando la expresión la solución general con respecto de $x$, encontramos $\left(\dfrac{1}{2}\,y^2-\dfrac{y}{x}\right)'=0$, es decir $2\cdot \dfrac{1}{2}\,y\cdot y'-\left( \dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}\right)=0$; simplificando y despejando $y'$, se llega a $y'=-\dfrac{y}{x^2\,y-x}$, que sustituida en (3) vemos que satisface la igualdad. $\diamond$

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Referencias

  [1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.
  [2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuarta edición, Mir, Moscú, 1984.
  [3] C. G. Lambe, C. J. Tranter, Ecuaciones diferenciales, UTEHA, México D.F., 1964.
  [4] M. Cordero, M. Gómez, Ecuaciones diferenciales ordinarias, García Maroto Editores, Madrid, 2010.
  [5] F. Ayres, Ecuaciones diferencials, McGraw-Hill (Shaum), México D.F., 1992.