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jueves, 7 de septiembre de 2023

Ecuaciones diferenciales de primer orden, de tipo P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0, que no son exactas, pero que poseen un factor integrante \mu(x,y)

Recordemoas que una EDO P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0\;\;\;(1) es de tipo diferencial exacta si existe una función U:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R} de clase \mathcal{C}^2 (existen todas sus derivadas parciales de orden 2 y son continuas) a la que se denomina función potencial que cumpla: \dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y) y \dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y), y como ya vimos, puede afirmarse que la condición necesaria y suficiente para que la e. sea diferencial exacta es \dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}, en cuyo caso la solución general de la EDO viene dada por U(x,y)=C, donde C es una constante arbitraria.

En el caso de que dicha ecuación diferencial no sea exacta, es sin embargo posible, a veces (no siempre), encontrar una función \mu(x,y) a la que denominamos factor integrante tal que la ecuación diferencial \mu(x,y)\,P(x,y)\,dx+\mu(x,y)\,Q(x,y)\,dy=0 verifique la condición necesaria y suficiente que habíamos visto que cumplían las EDOSs exactas \displaystyle \dfrac{\partial\,\left(\mu(x,y)\,P(x,y)\right)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,\left(\mu(x,y)\,Q(x,y)\right)}{\partial\,x}

Esa nueva ecuación que obtendremos ya no es, en principio, una ecuación diferencial parcial, sino que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP): \displaystyle \left( \dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y} - \dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x} \right)\,\mu(x,y)+P(x,y)\,\dfrac{\partial\,\mu(x,y)}{\partial\,y}-Q(x,y)\,\dfrac{\partial\,\mu(x,y)}{\partial\,x}=0\;\;\;(2) la cual tiene como solución el propio factor integrante \mu(x,y).

Ahora bien, lógicamente, integrar esta nueva ecuación (y por tanto, encontrar dicho factor integrante, \mu(x,y)) puede representar una dificultad añadida a la de partida; sin embargo, si pudiésemos encontrar un factor integrante (de ser posible tal cosa) de manera que éste lo hiciésemos depender de una sola de las dos variables o bien de una combinación apropiada de las dos (de su producto), la nueva ecuación se convertiría a su vez en una ecuación diferencial ordinaria, que también sería exacta, y por tanto podríamos calcular su solución general de manera asequible.

Pero, cuidado, la solución de (2) puede aportar soluciones (adicionales) que no forman parte de la solución general de (1), o bien pueden no incluir soluciones que deberían estar en la solución general de (1). Si el proceso de obtención del factor integrante \mu(x,y) tiene éxito (que recordemos que sería la solución de (2)) deberemos contrastar dicha solución, comprobando que es también la solución general de la ecuación original (1). \diamond

Ejemplo:

Consideremos la ecuación diferencial \mathcal{E}:\,y\,dx+(x^2\,y-x)\,dy=0 y tratemos de resolverla. Veamos, primero, si es una ecuación diferencial exacta; teniendo en cuenta que P(x,y):=y y Q(x,y):=x^2\,y-x, se tiene que \displaystyle \dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,y}{\partial\,y}=1\neq \dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}=2\,x\,-1, y al incumplirse la condición necesaria y suficiente para que lo sea, podemos afirmar que no se trata de una ecuación diferencial exacta.

Veamos, sin embargo, si conseguimos encontrar un factor integrante \mu(x,y) tal que al multiplicar ambos miembros de \mathcal{E}, obtenemos otra ecuación diferencial \overset{\sim}{\mathcal{E}}:\,\mu(x,y)\,y\,dx+\mu(x,y)\, (x^2\,y-x)\,dy=0 que sí lo sea. Tratemos de encontrar un factor integrante de tal manera que solo dependa de una de las dos variables, en concreto de x; esto es, \mu(x,y):=\mu(x). Las nuevas funciones con las que trabajaremos son pues \overset{\sim}{P}(x,y):=y\,\mu(x) y \overset{\sim}{Q}(x,y):=(x^2\,y-x)\,\mu(x).

Para que \mathcal{E} sea exacta deberá cumplirse que \displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{P}(x,y) } {\partial\,y}=\dfrac{\partial\,\overset{\sim}{Q}(x,y) } {\partial\,x}. Calulemos las derivadas parciales:
\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{P}(x,y)}{\partial\,y}=P(x,y)\,\dfrac{\partial\,\mu(x)}{\partial\,y}+\mu(x)\,\dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=0+1\cdot \mu(x)=\mu(x)
\displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{Q}(x,y)}{\partial\,x}=Q(x,y)\,\dfrac{d\,\mu(x)}{d\,x}+\mu(x)\,\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}=\mu'(x)\cdot (x^2\,y-x)+\mu(x)\cdot(2\,x\,y-1)
Igualando se tiene que \mu(x)=\mu'(x)\cdot (x^2\,y-x)+\mu(x)\cdot(2\,x\,y-1), y ordenando los términos y simplificando,
\mu(x)\,(1-2\,x\,y+1)=\mu'(x)\,(x^2\,y-x)
  2\,\mu(x)\,(1-\,x\,y)=\mu'(x)\,x\,(x\,y-1)
    -2\,\mu(x)\,(x\,y-1)=\mu'(x)\,x\,(x\,y-1)
      \left(-2\,\mu(x)-x\,\mu'(x)\right)\,(x\,y-1)=0 \Leftrightarrow 2\,\mu(x)+x\,\mu'(x)=0 \Rightarrow 2\,\mu(x)dx=-x\,d\,\mu(x) que es una ecuación de variables separables, luego \displaystyle\,\int\,\dfrac{d\,\mu}{\mu}=-2\,\int\,\dfrac{d\,x}{x}+\text{constante}; esto es 2\,\ln\,x+\ln\,\mu=\ln\,k, donde k es una constante (arbitraria), luego \ln\,(x^2\,\mu)=\ln\,k y por tanto x^2\,\mu=k; con lo cual \mu=\dfrac{k}{x^2}, y eligiendo un valor cualquiera para k, pongamos que k:=1, encontramos un factor integrante: \mu(x)=\dfrac{1}{x^2}

La ecuación diferencial que, ésta sí, es exacata es pues \displaystyle \mathcal{\overset{\sim}{\mathcal{E}}}:\,\dfrac{y}{x^2}\,dx+\dfrac{x^2\,y-x}{x^2}\,dy=0. Para encontrar su solución general, \overset{\sim}{U}(x,y)=C (donde C es la constante de integración), tenemos que encontrar la función potencial \overset{\sim}{U}(x,y), la cual sabemos que cumplirá la condición necesaria y suficiente de e. diferencial exacta: \displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,x}=\overset{\sim}{P}(x,y), esto es, \displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,x}=\dfrac{y}{x^2}; y \displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,y}=\overset{\sim}{Q}(x,y), es decir, \displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{x^2\,y-x}{x^2}.

De la primera se tiene que, integrando con respecto a x, \displaystyle \overset{\sim}{U}(x,y)=\int\,\dfrac{y}{x^2}\,dx+\Phi(y)=-\dfrac{y}{x}+\Phi(y). Por otra parte, de \displaystyle \dfrac{\partial\,\overset{\sim}{U}(x,y)}{\partial\,y}=\overset{\sim}{Q}(,y), se tiene que \displaystyle \dfrac{\partial\,\left(-\dfrac{y}{x}+\Phi(y) \right)}{\partial\,y}=\dfrac{x^2\,y-x}{x^2} y por tanto,
-\dfrac{1}{x}+\Phi'(y)=\dfrac{x^2\,y-x}{x^2} y simplificando el segundo miembro,
  \displaystyle -\dfrac{1}{x}+\Phi'(y)=y-\dfrac{1}{x} \Rightarrow \Phi'(y)=y \Rightarrow \Phi(y)=\int\,y\,dy+\text{constante} =\dfrac{1}{2}\,y^2+\text{constante}; eligiendo el valor de esta constante (arbitraria) igual a cero y sustituyendo se llega la función potencial \overset{\sim}{U}(x,y)=-\dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{2}\,y^2, y por tanto a la solución general (familia de curvas integrales): \dfrac{1}{2}\,y^2-\dfrac{y}{x}=C

Puede comprobarse que la solución que hemos encontrado para \mathcal{\overset{\sim}{E}}, también es la solución general de \mathcal{E}; en efecto, podemos escribir \mathcal{E}:\,y\,dx+(x^2\,y-x)\,dy=0 de la forma equivalente y+(x^2\,y-x)\,\dfrac{dy}{dx}=0, es decir, y+(x^2\,y-x)\,y'=0 \;\;\;(3). Derivando la expresión la solución general con respecto de x, encontramos \left(\dfrac{1}{2}\,y^2-\dfrac{y}{x}\right)'=0, es decir 2\cdot \dfrac{1}{2}\,y\cdot y'-\left( \dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}\right)=0; simplificando y despejando y', se llega a y'=-\dfrac{y}{x^2\,y-x}, que sustituida en (3) vemos que satisface la igualdad. \diamond

-oOo-

Referencias

  [1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.
  [2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuarta edición, Mir, Moscú, 1984.
  [3] C. G. Lambe, C. J. Tranter, Ecuaciones diferenciales, UTEHA, México D.F., 1964.
  [4] M. Cordero, M. Gómez, Ecuaciones diferenciales ordinarias, García Maroto Editores, Madrid, 2010.
  [5] F. Ayres, Ecuaciones diferencials, McGraw-Hill (Shaum), México D.F., 1992.

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