Existencia y unicidad en una ODE de primer orden. Un ejemplo

Averigüemos el dominio del plano $\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^2$ el el que la ecuación diferencial $y'=x\,y$ tiene solución única en cada uno de sus puntos.

Recordemos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, con dos variables, $F(x,y,y')=0$ (forma general), siendo $y=y(x)$ la función incógnita y en la que sea posible despejar $y'$ (ecuación diferencial explicitada según la derivada $y'$) puede escribirse de la forma $y'(x)=f(x,y)$. Y que si $f(x,y)$ es un a función continua en un recinto $\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^2$ y admite derivada parcial $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}$ continua con respecto a $x$ e $y$ en el recinto $\mathcal{D}$, entonces el teorema de existencia y unicidad asegura que existe una solución (única) $y=\varphi(x)$ de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial $y(x_0)=y_0$. Encontrar la solución que satisface esa condición inicial dada lleva el nombre de problema de Cauchy; y, desde el punto de vista geométrico, significa encontrar la curva integral en el dominio del plano $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^2$ que pasa por un punto dado (de dicho dominio).

Observemos que la función $f(x,y)=xy$ así como su derivada parcial $\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}=x$ son funciones continuas vara cualquier punto del plano $\mathbb{R}^2$, luego por el teorema de existencia y unicidad, existe una solución $y=\varphi(x)$ única en todos los puntos del plano; así pues, el dominio pedido es $\mathcal{D}=\mathbb{R}^2$ (todo el plano). $\diamond$

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Referencias

  [1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.
  [2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuarta edición, Mir, Moscú, 1984.
  [3] C. G. Lambe, C. J. Tranter, Ecuaciones diferenciales, UTEHA, México D.F., 1964.
  [4] M. Cordero, M. Gómez, Ecuaciones diferenciales ordinarias, García Maroto Editores, Madrid, 2010.
  [5] F. Ayres, Ecuaciones diferencials, McGraw-Hill (Shaum), México D.F., 1992.