Se dice que una EDO P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0 es de tipo diferencial exacta si existe una función U:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R} de clase \mathcal{C}^2 (existen todas sus derivadas parciales de orden 2 y son continuas) a la que se denomina función potencial que cumpla: \dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y) y \dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y); y como, por la propiedad de las segundas derivadas cruzadas, \dfrac{\partial^2\,U(x,y)}{\partial\,x\,\partial\,y}=\dfrac{\partial^2\,U(x,y)}{\partial\,y\,\partial\,x}, puede afirmarse que la condición necesaria y suficiente para que la e. sea diferencial exacta es \dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}, en cuyo caso la solución general de la EDO viene dada por U(x,y)=C, donde C es una constante arbitraria.
Veamos ahora cómo calcular dicha solución. De \dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y) se tiene que, integrando con respecto de y: \displaystyle U(x,y)\equiv\int\,\dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,y}\,dy=\int\,Q(x,y)\,dy+\phi(x) \;\;\; (1), y, teniendo en cuenta que \dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y), podemos escribir que \displaystyle P(x,y)=\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}+\phi'(x) \Rightarrow \phi'(x)=P(x,y)-\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}, por lo que, integrando con respecto a x, \displaystyle \phi(x)=\int\,\left(P(x,y)-\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}\right)\,dx+\text{constante}, con lo cual, sustituyendo en (1), se llega a \displaystyle U(x,y)=\int\,Q(x,y)\,dy+ \int\,\left(P(x,y)-\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}\right)\,dx=C
Ejemplo 1:
Consideremos la ecuación diferencial exacta y\,dx+x\,dy=0. Comprobemos, primero, que es del tipo diferencial exacta: en efecto, como P(x,y):=y y Q(x,y):=x, se cumple que \dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=1=\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}, y por tanto queda probado que se trata de una ecuación diferencial exacta, luego existe una función potencial U(x,y) tal que \displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y) y \dfrac{U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y), siendo U(x,y)=C (constante) la solución general de dicha ecuación diferencial.
Calulémos la función potencial U(x,y), paso a paso:
De \displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y) se tiene que \displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,y}=x \Rightarrow U(x,y)=\int\,x\,dy+\Phi(x)=x\,y+\Phi(x). Por otra parte, \displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y), esto es
\displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,x}=y; así pues, \displaystyle \dfrac{\partial}{\partial\,x}\,\left( x\,y+\Phi(x) \right)=y, es decir, y+\Phi'(x)=y, y por tanto, \Phi'(x)=0, con lo cual \Phi(x)=\text{constante}. Por consiguiente, la función potencial es U(x,y)=x\,y+\text{constante}, y, finalmente, podemos ya escribir la solución general de dicha ecuación diferencial exacta: x\,y=C\,, lo cual quiere decir que ésta representa la familia de curvas integrales y=\dfrac{C}{x} (hipérbolas equiláteras).
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Ejemplo 2:
Consideremos la EDO diferencial exacta y\,e^x\,dx+e^x\,dy=0. Comprobemos, primero, que es del tipo diferencial exacta: en efecto, como P(x,y):=y\,e^x y Q(x,y):=x, se cumple que \dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=e^x=\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}, luego existe una función potencial \displaystyle U(x,y):=\int\,Q(x,y)\,dy+ \int\,\left(P(x,y)-\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}\right)\,dx\;\;\; (2)
Calulémosla ahora directamente (aplicando (2)):
\displaystyle\int\,Q(x,y)\,dy=\int\,e^x\,dx=e^x+\text{constante} (primer término del segundo miembro de (2)) y por tanto \displaystyle \dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}=e^x
Por otra parte,
\displaystyle\int\,P(x,y)\,dx=\int\,y\,e^x\,dx=y\,e^x+\text{constante}
\displaystyle\int\,\dfrac{\partial\,\int\,Q(x,y)\,dy}{\partial\,x}\,dx=\int\,e^x\,dx=e^x+\text{constante}
con lo cual, el segundo término del segundo miembro de (2) nos queda: y\,e^x-e^x+\text{constante}
Entonces, finalmente: U(x,y)=e^x+y\,e^x-e^x+\text{constante}=y\,e^x+\text{constante}, con lo cual la solución general de la ecuación diferencial propuesta es y\,e^x=C, es decir, el conjunto de curvas integrales y=C\,e^{-x}.
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Referencias
[1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.[2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuarta edición, Mir, Moscú, 1984.
[3] C. G. Lambe, C. J. Tranter, Ecuaciones diferenciales, UTEHA, México D.F., 1964.
[4] M. Cordero, M. Gómez, Ecuaciones diferenciales ordinarias, García Maroto Editores, Madrid, 2010.
[5] F. Ayres, Ecuaciones diferencials, McGraw-Hill (Shaum), México D.F., 1992.
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