Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de primer orden exactas

Se dice que una EDO $P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0$ es de tipo diferencial exacta si existe una función $U:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ de clase $\mathcal{C}^2$ (existen todas sus derivadas parciales de orden $2$ y son continuas) a la que se denomina función potencial que cumpla: $\dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y)$ y $\dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y)$; y como, por la propiedad de las segundas derivadas cruzadas, $\dfrac{\partial^2\,U(x,y)}{\partial\,x\,\partial\,y}=\dfrac{\partial^2\,U(x,y)}{\partial\,y\,\partial\,x}$, puede afirmarse que la condición necesaria y suficiente para que la e. sea diferencial exacta es $\dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}$, en cuyo caso la solución general de la EDO viene dada por $U(x,y)=C$, donde $C$ es una constante arbitraria.

Veamos ahora cómo calcular dicha solución. De $\dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y)$ se tiene que, integrando con respecto de $y$: $\displaystyle U(x,y)\equiv\int\,\dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,y}\,dy=\int\,Q(x,y)\,dy+\phi(x) \;\;\; (1)$, y, teniendo en cuenta que $\dfrac{\partial\,U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y)$, podemos escribir que $\displaystyle P(x,y)=\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}+\phi'(x) \Rightarrow \phi'(x)=P(x,y)-\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}$, por lo que, integrando con respecto a $x$, $\displaystyle \phi(x)=\int\,\left(P(x,y)-\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}\right)\,dx+\text{constante}$, con lo cual, sustituyendo en (1), se llega a $$\displaystyle U(x,y)=\int\,Q(x,y)\,dy+ \int\,\left(P(x,y)-\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}\right)\,dx=C$$

Ejemplo 1:

Consideremos la ecuación diferencial exacta $y\,dx+x\,dy=0$. Comprobemos, primero, que es del tipo diferencial exacta: en efecto, como $P(x,y):=y$ y $Q(x,y):=x$, se cumple que $\dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=1=\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}$, y por tanto queda probado que se trata de una ecuación diferencial exacta, luego existe una función potencial $U(x,y)$ tal que $\displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y)$ y $\dfrac{U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y)$, siendo $U(x,y)=C$ (constante) la solución general de dicha ecuación diferencial.

Calulémos la función potencial $U(x,y)$, paso a paso:
De $\displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,y}=Q(x,y)$ se tiene que $\displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,y}=x \Rightarrow U(x,y)=\int\,x\,dy+\Phi(x)=x\,y+\Phi(x)$. Por otra parte, $\displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,x}=P(x,y)$, esto es $\displaystyle \dfrac{U(x,y)}{\partial\,x}=y$; así pues, $\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial\,x}\,\left( x\,y+\Phi(x) \right)=y$, es decir, $y+\Phi'(x)=y$, y por tanto, $\Phi'(x)=0$, con lo cual $\Phi(x)=\text{constante}$. Por consiguiente, la función potencial es $U(x,y)=x\,y+\text{constante}$, y, finalmente, podemos ya escribir la solución general de dicha ecuación diferencial exacta: $x\,y=C\,$, lo cual quiere decir que ésta representa la familia de curvas integrales $y=\dfrac{C}{x}$ (hipérbolas equiláteras). $\diamond$

Ejemplo 2:

Consideremos la EDO diferencial exacta $y\,e^x\,dx+e^x\,dy=0$. Comprobemos, primero, que es del tipo diferencial exacta: en efecto, como $P(x,y):=y\,e^x$ y $Q(x,y):=x$, se cumple que $\dfrac{\partial\,P(x,y)}{\partial\,y}=e^x=\dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}$, luego existe una función potencial $$\displaystyle U(x,y):=\int\,Q(x,y)\,dy+ \int\,\left(P(x,y)-\dfrac{\partial \, \left(\int\,Q(x,y)\,dy \right)}{\partial\,x}\right)\,dx\;\;\; (2)$$

Calulémosla ahora directamente (aplicando (2)):
$\displaystyle\int\,Q(x,y)\,dy=\int\,e^x\,dx=e^x+\text{constante}$ (primer término del segundo miembro de (2)) y por tanto $\displaystyle \dfrac{\partial\,Q(x,y)}{\partial\,x}=e^x$
Por otra parte,
  $\displaystyle\int\,P(x,y)\,dx=\int\,y\,e^x\,dx=y\,e^x+\text{constante}$
  $\displaystyle\int\,\dfrac{\partial\,\int\,Q(x,y)\,dy}{\partial\,x}\,dx=\int\,e^x\,dx=e^x+\text{constante}$
con lo cual, el segundo término del segundo miembro de (2) nos queda: $y\,e^x-e^x+\text{constante}$
Entonces, finalmente: $U(x,y)=e^x+y\,e^x-e^x+\text{constante}=y\,e^x+\text{constante}$, con lo cual la solución general de la ecuación diferencial propuesta es $y\,e^x=C$, es decir, el conjunto de curvas integrales $y=C\,e^{-x}$. $\diamond$

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Referencias

  [1] R. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón S.A., Barcelona, 1978.
  [2] A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuarta edición, Mir, Moscú, 1984.
  [3] C. G. Lambe, C. J. Tranter, Ecuaciones diferenciales, UTEHA, México D.F., 1964.
  [4] M. Cordero, M. Gómez, Ecuaciones diferenciales ordinarias, García Maroto Editores, Madrid, 2010.
  [5] F. Ayres, Ecuaciones diferencials, McGraw-Hill (Shaum), México D.F., 1992.