Ejercicios sobre bases de un espacio vectorial finito. Manejo de sumatorios

Se consideran dos bases $\mathcal{B}=\{\mathbf{u_1,u_2,\ldots,u_n}\}$ (a diferencia de los escalares, representamos los vectores en letra negrita) y $\mathcal{\overset{\sim}{B}}=\{\mathbf{v_1,v_2,\ldots,v_n}\}$ de un espacio vectorial $E$ de dimensión $n\gt 2$, tales que $\displaystyle \mathbf{v_j}=\sum_{i=1}^{n}\,a_{ij}\,\mathbf{u_i}\,\forall\,j=1,\ldots,n$ y $\displaystyle \mathbf{u_i}=\sum_{j=1}^{n}\,b_{ij}\,\mathbf{v_i}\,\forall\,i=1,\ldots,n$. A modo de ejercicio, vamos a demostrar que $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}=\delta_{ij}$ (función delta de Kronecker)

Nota: Recordemos que la función delta de Kronecker se define de la forma $\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ \rightarrow \{0,1\} \mapsto \delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1 \;\;\text{si}\;\; i=j \\ 0 \;\;\text{si}\;\; i \neq j\end{matrix}\right.$

Sea un vector $\mathbf{u_j}$ cualquiera de la base $\mathcal{B}$. Entonces, $\displaystyle \mathbf{u_j}=\sum_{i=1}^{n}\,\delta_{ij}\,\mathbf{u_i}=\sum_{k=1}^{n}\,b_{kj}\,\mathbf{v_k}=\sum_{k=1}^{n}\,b_{kj}\,\sum_{i=1}^{n}a_{ik}\,\mathbf{u_i}=\sum_{i=1}^{n}\,\left( \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}\right) \,\mathbf{u_i} \Leftrightarrow \delta_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}.\diamond$

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Referencias

  [1] S. Lipschutz, Geometría diferencial, McGraw-Hill (serie Shaum), México D.F., 1991.