Ejercicios sobre bases de un espacio vectorial finito. Manejo de sumatorios

Se consideran dos bases $\mathcal{B}=\{\mathbf{u_1,u_2,\ldots,u_n}\}$ (a diferencia de los escalares, representamos los vectores en letra negrita) y $\mathcal{\overset{\sim}{B}}=\{\mathbf{v_1,v_2,\ldots,v_n}\}$ de un espacio vectorial $E$ de dimensión $n\gt 2$, tales que $\displaystyle \mathbf{v_j}=\sum_{i=1}^{n}\,a_{ij}\,\mathbf{u_i}\,\forall\,j=1,\ldots,n$ y $\displaystyle \mathbf{u_i}=\sum_{j=1}^{n}\,b_{ij}\,\mathbf{v_i}\,\forall\,i=1,\ldots,n$. A modo de ejercicio, vamos a demostrar que $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}=\delta_{ij}$ (función delta de Kronecker)

Nota: Recordemos que la función delta de Kronecker se define de la forma $\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ \rightarrow \{0,1\} \mapsto \delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1 \;\;\text{si}\;\; i=j \\ 0 \;\;\text{si}\;\; i \neq j\end{matrix}\right.$

Sea un vector $\mathbf{u_j}$ cualquiera de la base $\mathcal{B}$. Entonces, $\displaystyle \mathbf{u_j}=\sum_{i=1}^{n}\,\delta_{ij}\,\mathbf{u_i}=\sum_{k=1}^{n}\,b_{kj}\,\mathbf{v_k}=\sum_{k=1}^{n}\,b_{kj}\,\sum_{i=1}^{n}a_{ik}\,\mathbf{u_i}=\sum_{i=1}^{n}\,\left( \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}\right) \,\mathbf{u_i} \Leftrightarrow \delta_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}.\diamond$

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Referencias

  [1] S. Lipschutz, Geometría diferencial, McGraw-Hill (serie Shaum), México D.F., 1991.

Espacio vectorial cociente inducido por una relación de equivalencia

Relación de equivalencia:
Dado un conjunto $E$, se define en él una relación binaria de equivalencia $\mathcal{E}$, cumpliendo por tanto las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva ). Pues bien, dicha relación de equivalencia determina una partición de $E$, cuyas partes se llaman clases de equivalencia y, recíprocamente, cualquier partición de $E$ establece una relación de equivalencia en $E$.

Dada $\mathcal{E}$ ( una r. de e. en $E$ ), se llaman clase de equivalencia de un elemento $w \in E$, y se designa por $[w]$, al cojunto de elementos que se relacionan con $w$ mediante $\mathcal{E}$, és decir
    $[w]=\{x \in E \, | \, x \,\mathcal{E}\, w \}$

Las clases de equivalencia cumplen las siguientes propiedades:
  a) Dados $x,y \in E$, $x \, \mathcal{E} \, \text{y} \, \Leftrightarrow [x]=[y]$
  b) Dados $x,y \in E$, $x \; \text{no es equivalente a}\; y \Leftrightarrow [x]\cap [y] = \emptyset$
  c) $\displaystyle \cup_{x \in E} [x]=E$

Relación de equivalencia asociada a una aplicación entre dos conjuntos:
Dada una aplicación   $f: A\rightarrow B$, se define la relación binaria tener la misma imagen por la aplicación ( que es de equivalencia ). Esta relación de equivalencia $\mathcal{E}$ se denomina equivalencia asociada a la aplicación y, por tanto, podemos afirmar que dados $x,y \in A$, $x \, \mathcal{E}\, y \Leftrightarrow f(x)=f(y)$.

    Teorema:   Dada una aplicación   $f: E\rightarrow E^{'}$ y la relación de equivalencia asociada, se demuestra que la aplicación $f$ puede descomponerse en tres aplicaciones:
        $f=i \circ b \circ e$
de tal forma que
          $e:E \rightarrow E/\mathcal{E}$   ($e$ es exhaustiva)
          $b: E/\mathcal{E} \rightarrow Im(E)$   ( tal que $b([x])=f(x)$ es biyectiva )
          $i: Im(E) \rightarrow E^{'}$   ( tal que $i\big(f(x)\big)=f(x)$ es inyectiva )
[esquema]


Espacio vectorial cociente:

Sea $(E,+,\cdot)$ un e.v. sobre un cuerpo conmutativo $K$, y sea $\mathcal{E}$ una relación de equivalencia definida en $E$ que sea compatible con la estructura de e.v. sobre $k$.

Por ser $(E,+)$ grupo abeliano, dicha relación de equivalencia debe ser del tipo
$x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow x-y \in F$, para todo par $x,y \in E$, donde $F$ es un subgrupo del grupo abeliano $(E,+)$. Siendo, además, $\mathcal{E}$ también compatible con la operación externa producto por escalares, se tiene que $x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow \lambda \cdot x \,\, \mathcal{E} \,\, \lambda \cdot y \; \;\forall \lambda \in K$. Entonces, como $\lambda \cdot x - \lambda \cdot y \in F \Leftrightarrow \lambda \cdot (x-y) \in F$, $F$ es un e.v. de $E$.
[Nota: cualquier $z \in F$ puede considerarse como la diferencia de dos vectores $x$ e $y$ equivalentes, ya que elegido un $x \in E$ arbitrario, basta tomar $y=x-z$ ]

Se comprueba que, dado $(E,+,\cdot)$ y dado $F \subset E$, un subespacio vectorial de $E$, la estructura $(E/\mathcal{E},+,\cdot)$ es un e.v. que se denomina espacio vectorial cociente y ser representa por $(E/F,+,\cdot)$ debido a que la relación de equivalencia $\mathcal{E}$ distingue al subespacio vectorial $F$.

Relaciones de equivalencia. Espacio vectorial cociente

Relación de equivalencia:
Dado un conjunto $E$, se define en él una relación binaria de equivalencia $\mathcal{E}$, cumpliendo por tanto las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva ). Pues bien, dicha relación de equivalencia determina una partición de $E$, cuyas partes se llaman clases de equivalencia y, recíprocamente, cualquier partición de $E$ establece una relación de equivalencia en $E$.

Dada $\mathcal{E}$ ( una r. de e. en $E$ ), se llaman clase de equivalencia de un elemento $w \in E$, y se designa por $[w]$, al cojunto de elementos que se relacionan con $w$ mediante $\mathcal{E}$, és decir
    $[w]=\{x \in E \, | \, x \,\mathcal{E}\, w \}$

Las clases de equivalencia cumplen las siguientes propiedades:
  a) Dados $x,y \in E$, $x \, \mathcal{E} \, \text{y} \, \Leftrightarrow [x]=[y]$
  b) Dados $x,y \in E$, $x \; \text{no es equivalente a}\; y \Leftrightarrow [x]\cap [y] = \emptyset$
  c) $\displaystyle \cup_{x \in E} [x]=E$

Relación de equivalencia asociada a una aplicación entre dos conjuntos:
Dada una aplicación   $f: A\rightarrow B$, se define la relación binaria tener la misma imagen por la aplicación ( que es de equivalencia ). Esta relación de equivalencia $\mathcal{E}$ se denomina equivalencia asociada a la aplicación y, por tanto, podemos afirmar que dados $x,y \in A$, $x \, \mathcal{E}\, y \Leftrightarrow f(x)=f(y)$.

    Teorema:   Dada una aplicación   $f: E\rightarrow E^{'}$ y la relación de equivalencia asociada, se demuestra que la aplicación $f$ puede descomponerse en tres aplicaciones:
        $f=i \circ b \circ e$
de tal forma que
          $e:E \rightarrow E/\mathcal{E}$   ($e$ es exhaustiva)
          $b: E/\mathcal{E} \rightarrow Im(E)$   ( tal que $b([x])=f(x)$ es biyectiva )
          $i: Im(E) \rightarrow E^{'}$   ( tal que $i\big(f(x)\big)=f(x)$ es inyectiva )
[esquema]


Espacio vectorial cociente:

Sea $(E,+,\cdot)$ un e.v. sobre un cuerpo conmutativo $K$, y sea $\mathcal{E}$ una relación de equivalencia definida en $E$ que sea compatible con la estructura de e.v. sobre $k$.

Por ser $(E,+)$ grupo abeliano, dicha relación de equivalencia debe ser del tipo
$x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow x-y \in F$, para todo par $x,y \in E$, donde $F$ es un subgrupo del grupo abeliano $(E,+)$. Siendo, además, $\mathcal{E}$ también compatible con la operación externa producto por escalares, se tiene que $x \, \mathcal{E} \, y \Leftrightarrow \lambda \cdot x \,\, \mathcal{E} \,\, \lambda \cdot y \; \;\forall \lambda \in K$. Entonces, como $\lambda \cdot x - \lambda \cdot y \in F \Leftrightarrow \lambda \cdot (x-y) \in F$, $F$ es un e.v. de $E$.
[Nota: cualquier $z \in F$ puede considerarse como la diferencia de dos vectores $x$ e $y$ equivalentes, ya que elegido un $x \in E$ arbitrario, basta tomar $y=x-z$ ]

Se comprueba que, dado $(E,+,\cdot)$ y dado $F \subset E$, un subespacio vectorial de $E$, la estructura $(E/\mathcal{E},+,\cdot)$ es un e.v. que se denomina espacio vectorial cociente y ser representa por $(E/F,+,\cdot)$ debido a que la relación de equivalencia $\mathcal{E}$ distingue al subespacio vectorial $F$.