Càlcul del nombre de rutes de $k$ trams entre dos nodes determinats d'una xarxa (graf valorat)

El càlcul del nombre de rutes de $k$ trams ($k=1,2,\ldots$) per anar d'un node a un altre d'un graf ve donat per la matriu potència $k$-ésima de la matriu del graf. El valor dels elements de la matriu resultant és igual al nombre de rutes de $k$ trams entre un node i un altre. Vegem dos exemples senzills, ambdós per a grafs ponderats (xarxes); l'un per a un graf orientat (arestes d'un sol sentit), el qual ve indicat, en cada aresta, per una fletxa) i l'altre per a un graf no orientat (totes les arestes són de doble sentit):

$\diamond$