Ecuación de una recta del espacio afín $\mathbb{R}^3$ en forma continua

Sea $r$ una recta del espacio afín $\mathbb{R}^3$ determinada por un punto $P(x_P,y_P,z_P)$ y un vector $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Vamos a deducir la ecuación de dicha recta en forma continua

Consideremos un punto $X(x,y,t)$ genérico de $r$, entonces $$\text{rango}\,\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=\text{rango}\,\begin{pmatrix}v_1 &x-x_P \\ v_2 &y-y_P \\ v_3 &z-z_P \end{pmatrix}=1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{vmatrix}v_1 & x-x_P \\ v_2 & y -y_P\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \dfrac{x-x_P}{v_1} = \dfrac{y-y_P}{v_2} \\ \\ \begin{vmatrix}v_2 & y-y_P \\ v_3 & z -z_P\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \dfrac{y-y_P}{v_1} = \dfrac{z-z_P}{v_3} \end{matrix}\right.$$ pudiendo escribir por tanto la ecuación (en forma continua) de la recta como $$r:\,\dfrac{x-x_P}{v_1} = \dfrac{y-y_P}{v_2}=\dfrac{z-z_P}{v_3}$$ $\diamond$