Expresión de una ecuación diferenciales ordinaria de orden superior a uno mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden uno

Dada una EDO lineal de orden superior a uno, ésta puede reducirse a un sistema de EDOs lineales de orden uno. De esta manera, es posible abordar el problema de la existencia y unicidad de solución (dadas las correspondientes condicions iniciales) partiendo del problema ya resueldo de la existencia y unicidad para EDOs lineales de orden superior de primer orden.

Ejemplo de introducción:
Consideremos la EDO de orden 2 $$y''+y'+y=x+1 \quad (1)$$ donde $y$ depende de $x$

Pues bien, denotemos $y$ por $y_1$, con lo cual $y_1'=y'$; y, $y_1'$ por $y_2$, por lo que $y_2'=y''$, entonces (1) puede expresarse mediante el siguiente sistem de EDOs de primer orden: $$\left\{\begin{matrix}y_1'&=&y_2 \\ y_2'+y_2+y_1&=&x+1\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}y_1'&=&y_2 \\ y_2'&=&-y_1-y_2+x+1\end{matrix}\right.$$ que podemos expresar también en forma matricial: $$\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\x+1\end{pmatrix}$$ y al que podemos referirnos de una manera más cómoda escribiendo $$Y'=P\,Y+Q\quad (2)$$ El problema de resolver el sistema de ecuaciones se traduce en encontrar una función vectorial $Y$ que satisfaga la ecuación matricial $(2)$ con la condición inicial $Y(a)=B$, donde $a\in J\subset \mathbb{R}$ y $B$ es un vector $(b_1,b_2)^\top$ que nos viene dado.

En el caso de que el sistema de ecuaciones constase de una sola ecuación diferencial, sabemos que, siendo ésta del tipo lineal y (en general) no homogénea, , $y'+P(x)\,y=Q(x)$, la solución viene dada por $$y(x)=e^{-A(x)}\,Y(a)+e^{-A(x)}\,\int_{a}^{x}\,e^{A(t)}\,Q(t)\,dt$$ donde $A(x)=\int_{a}^{t}\,P(t)\,dt$ y $a$ es un punto cualquiera del intervalo $J$ de continuidad de las funciones del problema. Pues bien, resulta que este resultado se generaliza (teoremas) para una ecuación diferencial con matrices como las que aparecen en el sistema de ecuaciones que hemos planteado, siendo dicha solución de la forma $(2)$.

Entramos así en el interesante problema de tener que calcular integrales con matrices, el cual, poco a poco, iremos desarrollando.

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