EDO asociada a la familia de rectas del plano cuya distancia al origen de coordenadas es igual a la unidad

¿Cuál es la EDO asociada a la familia de rectas del plano tal que para cada una de ellas la distancia al origen de coordenadas $O$ sea igual a la unidad?

Sea una de dichas rectas, cuya ecuación en forma implícita puede escribirse de la forma $r:ax+by+c=0\quad (1)$. Entonces, $\text{distancia}(r,O(0,0)):=\dfrac{a\cdot 0+b\cdot 0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=-\dfrac{ax+by}{\sqrt{a^2+b^2}}=1 \quad (2)$

Ahora bien, $a$ y $b$ están relacionados con la pendiente de la recta, $m$; en efecto, si escribimos la ecuación de $r$ en forma explícita, tenemos que $r:y=m\,x+k$, pero de $(1)$, $\dfrac{a}{b}\,x+y=-\dfrac{c}{a}$, luego $y=-\dfrac{a}{b}\,x-\dfrac{c}{a}$, y por tanto se tiene que $m=-\dfrac{a}{b}$, con lo cual $a=-m\,b$; por consiguiente, $(2)$ puede escribir de la forma: $$\dfrac{(-mb)\,x+b\,y}{\sqrt{(-mb)^2+b^2}}=1$$ o lo que es lo mismo (simplificando), $$y-m\,x-\sqrt{1+m^2}=0 \quad (3)$$ Con lo cual, la solución general depende de un sólo parámetro (como era de esperar), $m$, y por tanto la EDO que buscamos ha de ser de primer orden.

Derivando $(3)$ con respecto de $x$ podremos despejar dicho parámetro y sustituirlo después para encontrar la ecuación diferencial pedida:
$$y'-m=0 \Rightarrow m=y'$$ con lo cual $(3)$ se reescribe de la forma $$y-x\,y'-\sqrt{1+(y')^2}=0$$ es decir $$y-x\,y'=\sqrt{1+(y')^2}$$ elevando al cuadrado en ambos miembros, $$(y-x\,y')^2=1+(y')^2$$ y, desarrollando el binomio al cuadrado del segundo miembro, y agrupando términos: $$(1-x)^2\,(y')^2+2xy\,y'-y^2+1=0$$

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EDO asociada a la familia de circunferencias de radio $2$, centradas en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes

Consideremos la familia de circunferencia de radio igual a $2$ cuyos centros se encuentran sobre la bisectriz del primer y tercer cuadrantes del plano. ¿Cuál es la EDO asociada?

La ecuación de una de estas circunferencias, de centro $A(x_\alpha,y_\alpha)$, es $(x-x_\alpha)^2+(y-y_\alpha)^2=2^2$. Ahora bien, al estar $C$ en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, $\alpha_x=\alpha_y$, con lo cual se tiene que esta familia de circunferencias (solución general de la EDO) es $(x-x_\alpha)^2+(y-x_\alpha)^2=2^2$, esto es $x^2+y^2-2\,\alpha_x\,x-2\,\alpha_x\,y=4 \quad (1)$, donde $\alpha_x$ juega ahora el papel de constante arbitraria (de integración). Para obtener una expresión de la misma, derivo, despejo, simplifico y sustituyo:
Al derivar obtengo, $x+y-\alpha_x-\alpha_x\,y'=0$, es decir, $x+y=(y'+1)\,\alpha_x$ y por tanto, $\alpha_x=\dfrac{x+y}{1+y'}$, y sustituyendo en $(1)$ -que es lo mismo que $x^2+y^2-2\,\alpha_x\,(x+y)=4$- llegamos a $x^2+y^2-2\,\dfrac{(x+y)^2}{1+y'}=4$, es decir, $(x^2+y^2-4)(1+y')-2\,(x+y)^2=0$ $\diamond$

EDO asociada a una cierta familia de cardiodes

¿Cuál es la EDO asociada a la siguiente familia de cardiodes (dada en coordenadas polares)? $$\rho=\lambda\,(1-\cos\,(\theta))$$

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La figura muestra la gráfica de una cardiode de la familia (con $\lambda=1$) representada con Geogebra

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Al haber una sola constante de integración, que es $\lambda$, el orden de la ecuación diferencial es $1$. Derivando con respecto a $\theta$ la solución general, se obtiene $$\rho'=\lambda\,\sin\,(\theta)$$ de donde despejando $\lambda$, se obtiene $$\lambda=\dfrac{\rho'}{\sin\,(\theta)}$$ y substituida la solución general encontramos $$\rho=\dfrac{\rho'}{\sin\,(\theta)}\,(1-\cos\,(\theta))$$ esto es, $$\rho'-\dfrac{\sin\,(\theta)}{1-\cos\,(\theta)}\,\rho=0$$ $\diamond$

Determinación de la ecuación diferencial a partir de su solución general

En este ejercicio me propongo determinar la ecuación diferencial ordinaria cuya solución general es $y=\sin\,(x+A)$, siendo $A$ la constante indeterminada (o de integración).

Al haber una sola constante de integración es claro que el orden de la ecuación diferencial es $1$. Bien, derivando con respecto a $x$ la solución general, se obtiene $$y'=\cos\,(x+A)$$ y, por tanto, $$(y')^2=\cos^2\,(x+A) \quad (1)$$ Por otra parte, de la solución general, puede escribirse que $$y^2=\sin^2\,(x+A) \quad (2)$$ Sumando miembro a miembro $(1)$ y $(2)$, $$(y')^2+y^2=\cos^2\,(x+A) +\sin^2\,(x+A)$$ y, teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría (en el segundo miembro), $$(y')^2+y^2-1=0$$ $\diamond$

Obtención de la ecuación diferencial asociada a su solución general

En este ejercicio me propongo determinar la ecuación diferencial ordinaria cuya solución general es $\ln\,(y)=A\,x^2+B$, siendo $A$ y $B$ las constantes indeterminadas.

Al haber dos constantes arbitrarias es claro que el orden de la ecuación diferencial es $2$. Bien, derivando con respecto a $x$ la solución general, se obtiene $$\dfrac{1}{y}\,y'=2\,A\,x+0$$ de donde se deduce que $$A=\dfrac{y'}{2\,y\,x}$$Susbstituyendo en la solución general, $$\ln\,(y)=\dfrac{x}{2\,y}\,y'+B$$ y derivando otra vez con respecto a $x$, $$\dfrac{1}{y}\,y'=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{(y'+x\,y\,y'')\,y-x\,(y')^2}{y^2}\right)$$ y simplificando, $$x\,y\,y''-y\,y'-x\,(y')^2=0$$ $\diamond$

Ejemplo de resolución de una EDO de primer orden lineal no homogénea

Nos proponemos integrar la siguiente EDO: $$3\,y'-6\,\,y=2$$

Notemos que se trata de una EDO lineal no homogénea, pero esta vez no voy a utilizar el método de encontrar la solución de la e. homogénea y una solución particular, para sumarlas y obtener la s. general. De manera alternativa, voy a probar un cambio de variable: $y=u\,v$; así, $y'=u'\,v+v'\,u$. Al sustituir en la e. pedida:
  $3\,(u'\,v+v'\,u)-6\,u\,v=2$
    $3\,u'\,v+3\,v'\,u-6\,u\,v=2$
      $3\,u'\,v+u\,(3\,v'-6\,v)=2 \quad (1)$
El coeficiente de $u$, $3\,v'-6\,v$, toma la forma del primer miembro de la e. homogénea de la e. pedida, luego, igualándolo a cero, se tiene que
  $3\,v'-6\,v=0$
    $v'-2\,v=0$
      $\dfrac{dv}{dx}-2\,v=0$
        $\dfrac{dv}{v}=2\,dx$
          $\displaystyle \int\,\dfrac{dv}{v}=\int\,2\,dx$
            $\ln(v)=2x+\ln(C)$
              $\ln(v)-\ln(C)=2x$
                $\ln\left(\dfrac{v}{C}\right)=2x$
                  $\dfrac{v}{C}=e^{2x}$
                    $v=C\,e^{2x} \quad (2)$
Y sustituyendo en $(1)$,
  $3\,u'\,v+u\cdot 0 =2$
    $3\,u'\cdot (C\,e^{2x})+0=2$
      $3\,C\,u'\,e^{2x}=2$
        $3\,C\,\dfrac{du}{dx}\,e^{2x}=2$
          $C\,du=\dfrac{2}{3}\,e^{-2x}$
            $\displaystyle \int\,C\,du=\int\,\dfrac{2}{3}\,e^{-2x}$
              $\displaystyle C\,u=\dfrac{2}{3}\cdot (-\dfrac{1}{2})\,e^{-2x}$
                $\displaystyle C\,u=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}$
Deshaciendo ahora el cambio de variable, $u=\dfrac{y}{v}$, y teniendo en cuenta $(2)$, $u=\dfrac{y}{C\,e^{2x}}$, con lo cual de la línea anterior se sigue que,
  $\displaystyle C\,\dfrac{y}{C\,e^{2x}}=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}$
    $\displaystyle \dfrac{y}{e^{2x}}=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}$
      $y=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}\cdot e^{2x}+\tilde{C}\,e^{2x}$
        $y=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x+2x}+\tilde{C}\,e^{2x}$
          $y=-\dfrac{1}{3}\,e^{0}+\tilde{C}\,e^{2x}$
            $y=-\dfrac{1}{3}\cdot 1+\tilde{C}\,e^{2x}$
              $y=\tilde{C}\,e^{2x}-\dfrac{1}{3}$
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Otro ejemplo de resolución de una EDO lineal no homogénea

Se pide que resolvamos la siguiente EDO: $$y'+2y = x^2+2x$$

Observemos que se trata de una EDO lineal no homogénea, pues su forma se corresponde con la genérica de ese tipo: $y'+f(x)\,y=g(x)$, siendo en este caso concreto $f(y)=2$ y $g(x)=x^2+2x$

Primero, buscaremos la solución de la e.d. homogénea $y'+ 2y=0$, que, fácilmente hallamos, y a la que denominaremos $y_H$:
  $\dfrac{dy}{dx}+2y=0$
    $\dfrac{dy}{y}=-2\,dx$
      $\displaystyle \int\,\dfrac{dy}{y}=\int\,-2\,dx$
        $\ln(y)=-2\,x+\text{constante}$
Elegimos ahora la constante arbitraria como $\ln(C)$, luego podemos escribir:
          $\ln(y)-\ln(C)=-2\,x$
            $\ln\left(\dfrac{y}{C}\right)=-2\,x$, por lo que
              $y_H=C\,e^{-2\,x}$

En segundo lugar, buscaremos una solución particular, $y_P$, de la ecuación original, por el método de los coeficientes indeterminados: Como $g(x)=x^2+2x$ es un polinomio de segundo grado, postulamos que $y_P=A\,x^2+B\,x+C$ (constante). Así que, sustituyendo en la e.d. $y'+2y=x^2+2x$, podremos determinar el valor de los coeficientes $A,B$ y $C$. Al sustituir, obtenemos $(A\,x^2+B\,x+C)'+2\,(A\,x^2+B\,x+C)=x^2+2x$. Con lo cual, agrupando términos e identificando coeficentes del mismo grado, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones algebraicas:
$$\left\{\begin{matrix}2\,A=1 \\ 2\,A+2\,B=2\\ B+2C=0\end{matrix}\right. \Rightarrow A=B=\dfrac{1}{2}\,,C=-\dfrac{1}{4}$$ Por consiguiente, una solución particular es $y_P=\dfrac{1}{2}\,(x^2+x-\dfrac{1}{2})$

Finalmente, y teniendo en cuenta que la solución general de la e.d. es $y=y_H+y_P$, se obtiene:
$$y=C\,e^{-2x}+\dfrac{1}{2}\,(x^2+x-\dfrac{1}{2})$$ $\diamond$

Ejemplo de integración de una EDO lineal de primer grado no homogénea

Se pide que resolvamos la siguiente EDO: $$y'=2y+\dfrac{2}{3}$$

Observemos que se trata de una EDO lineal no homogénea, pues su forma se corresponde con la genérica de ese tipo: $y'+f(x)\,y=g(x)$, siendo en este caso concreto $f(y)=-2$ y $g(x)=\dfrac{2}{3}$

Procederemos de la siguiente manera:

Primero, buscaremos la solución de la e.d. homogénea $y'-2y=0$, que, fácilmente hallamos, y a la que denominaremos $y_H$:
  $\dfrac{dy}{dx}-2y=0$
    $\dfrac{dy}{y}=2\,dx$
      $\displaystyle \int\,\dfrac{dy}{y}=\int\,2\,dx$
        $\ln(y)=2\,x+\text{constante}$
Elegimos ahora la constante arbitraria como $\ln(C)$, luego podemos escribir:
          $\ln(y)-\ln(C)=2\,x$
            $\ln\left(\dfrac{y}{C}\right)=2\,x$, por lo que
              $y_H=C\,e^{2\,x}$

En segundo lugar, buscaremos una solución particular, $y_P$, de la ecuación original, por el método de los coeficientes indeterminados: Como $g(x)=\dfrac{2}{3}$ es constante, esto es, un polinomio de grado $0$, postulamos que $y_P=k$ (constante). Así que, sustituyendo en la e.d. $y'=2y+\dfrac{2}{3}$, podremos determinar el valor del coeficiente $k$:
  $y'_P=2\,y_P+\dfrac{2}{3}$
    $0=2\cdot k +\dfrac{2}{3}$
      $k = -\dfrac{1}{3}$
Por consiguiente, una solución particular es $y_P=-\dfrac{1}{3}$

Finalmente, sabemos que la solución general de la e.d. es $y=y_H+y_P$, es decir:
$$y=C\,e^{2x}-\dfrac{1}{3}$$ $\diamond$