Otro ejemplo de resolución de una EDO lineal no homogénea

Se pide que resolvamos la siguiente EDO:

$$y'+2y = x^2+2x$$

Observemos que se trata de una EDO lineal no homogénea, pues su forma se corresponde con la genérica de ese tipo: $y'+f(x)\,y=g(x)$, siendo en este caso concreto $f(y)=2$ y $g(x)=x^2+2x$

Primero, buscaremos la solución de la e.d. homogénea $y'+ 2y=0$, que, fácilmente hallamos, y a la que denominaremos $y_H$:
  $\dfrac{dy}{dx}+2y=0$
    $\dfrac{dy}{y}=-2\,dx$
      $\displaystyle \int\,\dfrac{dy}{y}=\int\,-2\,dx$
        $\ln(y)=-2\,x+\text{constante}$
Elegimos ahora la constante arbitraria como $\ln(C)$, luego podemos escribir:
          $\ln(y)-\ln(C)=-2\,x$
            $\ln\left(\dfrac{y}{C}\right)=-2\,x$, por lo que
              $y_H=C\,e^{-2\,x}$

En segundo lugar, buscaremos una solución particular, $y_P$, de la ecuación original, por el método de los coeficientes indeterminados: Como $g(x)=x^2+2x$ es un polinomio de segundo grado, postulamos que $y_P=A\,x^2+B\,x+C$ (constante). Así que, sustituyendo en la e.d. $y'+2y=x^2+2x$, podremos determinar el valor de los coeficientes $A,B$ y $C$. Al sustituir, obtenemos $(A\,x^2+B\,x+C)'+2\,(A\,x^2+B\,x+C)=x^2+2x$. Con lo cual, agrupando términos e identificando coeficentes del mismo grado, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones algebraicas:

$$\left\{\begin{matrix}2\,A=1 \\ 2\,A+2\,B=2\\ B+2C=0\end{matrix}\right. \Rightarrow A=B=\dfrac{1}{2}\,,C=-\dfrac{1}{4}$$ Por consiguiente, una solución particular es $y_P=\dfrac{1}{2}\,(x^2+x-\dfrac{1}{2})$

Finalmente, y teniendo en cuenta que la solución general de la e.d. es $y=y_H+y_P$, se obtiene:

$$y=C\,e^{-2x}+\dfrac{1}{2}\,(x^2+x-\dfrac{1}{2})$$ $\diamond$