Acerca de cómo resolver un sistema de EDOs homogéneas de primer orden

Un sistema de EDOs homogéneas de primer orden puede expresarse matricialmente de la forma

$$A\,Y=Y'$$ donde $A$ es la matriz de los coeficientes del sistema, $Y$ es el vector de correspondiente a la variable $y$ e $Y'$ es el vector correspondiente a la derivada de $y$. Veamos la idea sobre cómo podemos continuar con la resolución a partir de aquí.

Se trata de aplicar los resultados de la clasificación de endomorfismos: encontrar un cambio de base, cuya matriz denominamos $C$, de tal manera que la nueva matriz de los coeficientes $B=C^{-1}\,A\,C$ presente una estructura más sencilla que la de $A$: una matriz de Jordan o, de ser posible, una matriz diagonal.

Entonces, $A=C\,B\,C^{-1}$, con lo cual,
  $A\,Y=Y'$
    $(C\,B\,C^{-1})\,Y=Y'$
      $C^{-1}\,(C\,B\,C^{-1})\,Y=C^{-1}\,Y'$
        $(C^{-1}\,C)\,(B\,C^{-1})\,Y=C^{-1}\,Y'$
          $I\,(B\,C^{-1})\,Y=C^{-1}\,Y'$
            $(I\,B)\,(C^{-1}\,Y)=C^{-1}\,Y'$
              $B\,(C^{-1}\,Y)=C^{-1}\,Y'$, y siendo los nuevos vectores (de la variable $y\rightarrow z$ y de la derivada de la misma $y'\rightarrow z'$), podemos escribir que $C^{-1}\,Y=Z$ y $C^{-1}\,Y'=Z'$, con lo cual, la línea anterior podemos escribirla de la forma:
  $B\,Z=Z'$, que es más fácil de resolver que el problema original. De manera que, una vez encontremos esa solución, $Z$, encontraremos la de la ecuación original, $Y$, deshaciendo el cambio de base:
    $C^{-1}\,Y=Z \Rightarrow C\,C^{-1}\,Y=C\,Z \Rightarrow I\,Y=C\,Z \Rightarrow Y=C\,Z$

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