Recordemos la definiación de ecuación diferencial lineal: Una ODE $F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0$, se dice que es una ecuación diferencial lineal si $F$ es una función lineal con respecto a la variable dependiente $y$ y sus derivadas de órdenes $1,2\,\ldots,n$ con respecto a la variable independiente $x$: $y',\ldots,y^{(n)}$.
También puede reconocerse una EDO lineal si es de la forma $a_{0}(x)\,y+a_{1}(x)\,y'+\ldots+a_{n}(x)\,y^{(n)}=g(x) \quad (1)$, siendo $a_{0}(x),\ldots,a_{n}(x)$ funciones diferenciales, no necesariamente lineales. El orden de dicha EDO lineal viene dada por el entero positivo $m\le n$ tal que $a_{m}(x)$ sea una función no nula (la f. que envía todo valor de su dominio de efinición a cero). Por otra parte, si la función $g(x)$ del segundo miembro es nula, la EDO diferencial se denomina homogénea.
Caso de una EDO lineal no homogénea de orden $1$
Vamos a resolver una EDO de primer orden lineal no homogénea: $$y'+a(x)\,y=g(x) \quad (1)$$
La EDO homogénea asociada es $y'+a(x)\,y=0 \quad (2)$
Mediante el cambio de variable $y=u\,v$ —con lo cual $y'=u\,v'+v'\,u$ (derivadas con respecto de $x$)— la ecuación $(1)$ se escribe de la forma:
$(u'\,v+v'\,u+a(x)\,u\,v=g(x)$
$(u'+a(x)\,u)\,v+v'\,u=g(x) \quad (3)$
Si el primer término del primer miembro de $(3)$ es igual a cero, éste corresponde a la EDO homogénea $(2)$ de la EDO del problema, en las variables $x$ y $u$ (que depende de $x$).
Procedimiento: Una vez hayamos encontrado la solución de $(2)$ (primer paso), podemos encontrar la solución general de la ecuación diferencial pedida (segundo paso) sustituyendo ésta en $(3)$. Vamos a realizar pues estos dos pasos:
Primer paso:
$u'+a(x)\,u=0 \quad (2.1)$
$\dfrac{du}{dx}+a(x)\,u=0$
$\dfrac{du}{dx}=-a(x)\,u$
$\dfrac{du}{u}=-a(x)\,dx$
$\displaystyle \int\,\dfrac{du}{u}=-\int\,a(x)\,dx$
$\displaystyle \ln(|u|)=-\int\,a(x)\,dx+\ln(k_1)$, donde, por conveniencia (como se verá enseguida) damos la forma $\ln(k_1)$ a la constante de integración
$\displaystyle \ln(|u|)-\ln(k_1)=-\int\,a(x)\,dx$
$\displaystyle \ln\left(\left|\dfrac{u}{k_1}\right|\right)=-\int\,a(x)\,dx$
en consecuencia,
$\dfrac{u}{k_1}=\displaystyle e^{-\int\,a(x)\,dx}$
y por tanto,
$u=k_1\,\displaystyle e^{-\int\,a(x)\,dx}\quad (2.2)$
Segundo paso: Sustituimos ahora $(2.2)$ en $(3)$, ecuación que nos queda,
$0\cdot v+v'\cdot k_1\,\displaystyle e^{-\int\,a(x)\,dx}=g(x)$
$0+v'\cdot \,k_1\,\displaystyle e^{-\int\,a(x)\,dx}=g(x)$
$v'\cdot \,k_1\,e^{-\int\,a(x)\,dx}=g(x)$
$\dfrac{dv}{dx} \cdot \,k_1\,e^{-\int\,a(x)\,dx}=g(x)$
$\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{1}{k_1}\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)$
$dv = \dfrac{1}{k_1}\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx$
$\displaystyle \int\,dv = \int\,\dfrac{1}{k_1}\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx$
$\displaystyle v = \int\,\dfrac{1}{k_1}\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx+k_2$
Deshaciendo el cambio de variable $y=u\,v$, se tiene que $v=\dfrac{y}{u}$, por tanto lo anterior lo escribimos de la forma:
$\displaystyle \dfrac{y}{u} = \int\,\dfrac{1}{k_1}\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx+k_2$
$\displaystyle y = u\,\left(\int\,\dfrac{1}{k_1}\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx+k_2\right)$
$\displaystyle y \overset{(2.2)}{=} k_1\,\displaystyle e^{-\int\,a(x)\,dx}\,\left(\int\,\dfrac{1}{k_1}\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx+k_2\right)$
$\displaystyle y = k_1\,\displaystyle e^{-\int\,a(x)\,dx}\,\left( \dfrac{1}{k_1}\,\int\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx+k_2\right)$
$\displaystyle y = \displaystyle e^{-\int\,a(x)\,dx}\,\int\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx+k_1\cdot k_2\,e^{-\int\,a(x)\,dx}$
$\displaystyle y = \displaystyle e^{-\int\,a(x)\,dx}\,\int\,e^{\int\,a(x)\,dx}\,g(x)\,dx+C\,e^{-\int\,a(x)\,dx}\quad (4)$
siendo $C=k_1\cdot k_2$ la constante de integración del proceso global de integración.
Un ejemplo:
Apliquemos ahora lo que acabamos de deducir a un caso concreto, y muy sencillo: la EDO lineal de primer orden no homogénea $$y'+2y=3$$
Observemos que, para este caso, $a(x)=2$ y $f(x)=3$. Entonces, según $(4)$
$\displaystyle y = \displaystyle e^{-\int\,2\,dx}\,\int\,e^{\int\,2\,dx}\cdot 3\,dx+C\,e^{-\int\,2\,dx}$
$\displaystyle y = \displaystyle e^{-2x}\,\int\,3\,e^{2x}\,dx+C\,e^{-2x}$
$\displaystyle y = \displaystyle 3\,e^{-2x}\,\int\,e^{2x}\,dx+C\,e^{-2x}$
$\displaystyle y = \displaystyle 3\,e^{-2x}\cdot \dfrac{1}{2}\,e^{2x}+C\,e^{-2x}$
$\displaystyle y = \displaystyle \dfrac{3}{2}\,e^{-2x}\cdot \,e^{2x}+C\,e^{-2x}$
$\displaystyle y = \displaystyle \dfrac{3}{2}\,e^{2x-2x}+C\,e^{-2x}$
$\displaystyle y = \displaystyle \dfrac{3}{2}\,e^{0}+C\,e^{-2x}$
$\displaystyle y = \displaystyle \dfrac{3}{2}\cdot 1+C\,e^{-2x}$
$\displaystyle y = \displaystyle \dfrac{3}{2}+C\,e^{-2x}$
Comprobación:Sustituyendo la solución general que acabamos de encontrar en la ecuación diferencial ha de verificarse la igualdad de la misma. Veámoslo:
$(\dfrac{3}{2}+C\,e^{-2x})'+2\,(\dfrac{3}{2}+C\,e^{-2x})\overset{?}{=}3$
En efecto, desarrollando el primer miembro:
$0-2\,C\,e^{-2x}+2\cdot \dfrac{3}{2}+2\,C\,e^{-2x}=$
$-2\,C\,e^{-2x}+2\,C\,e^{-2x}+3=$
$0+3=3$, que es igual al segundo miembro.
Nota: La ecuación del ejemplo, que es muy sencilla, puede integrarse de manera alternativa sin utilizar el resultado $(4)$, tal como vamos a hacer a continuación. Así, viendo que llegamos a la misma solución, veremos, de otra manera, como todo lo anterior funciona bien.
$y'+2y=3$
$y'=3-2y$
$\dfrac{dy}{dx}=3-2y$
$\dfrac{dy}{3-2y}=dx$
$\displaystyle \int\,\dfrac{dy}{3-2y}=\int\,dx$
Para integrar el primer miembro, hagamos el siguiente cambio de variable: $w=3-2y$, con lo cual $dw=-2\,dy$ y por tanto $dy=-\dfrac{1}{2}\,dw$; por otra parte, el segundo miembro es de integración inmediata, luego
$\displaystyle \int\,\dfrac{dy}{3-2y}=-\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{dw}{w}=-\dfrac{1}{2}\,\ln(|w|)=-\dfrac{1}{2}\,\ln(|3-2y|)=x+k \Rightarrow 3-2y = e^{-2\,(x+k)}$
es decir,
$2\,y=3-e^{-2\,(x+k)}$
$y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\,e^{-2\,(x+k)}$
$y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\,e^{-2\,(x+k)}$
$y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\,e^{-2\,k}\cdot e^{-2\,x}$
$y=\dfrac{3}{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\,e^{-2\,k}\right)\cdot e^{-2\,x}$
y tomando como constante (arbitraria) de integración $C=-\dfrac{1}{2}\,e^{-2\,k}$, podemos escribir la solución de la misma forma que la que hemos encontrado antes: $$y=\dfrac{3}{2}+C\,e^{-2x}$$
$\diamond$
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