Ejemplo de integración de una EDO exacta

Vamos a integrar la siguiente EDO: $$(2x+y)\,dx+(2y+x)\,dy=0$$ que es del tipo $$\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,x}\,dx+\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,y}\,dy=0 $$

Observemos que $P(x,y)=2x+y$ y $Q(x,y)=2y+x$. Veamos las derivadas partiales $\dfrac{\partial\,P}{\partial\,y}=1$ y $\dfrac{\partial\,P}{\partial\,x}=1$; entonces, como $\dfrac{\partial\,P}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,P}{\partial\,x}$, se trata de una EDO exacta.

Con lo cual, existe una familia de funciones $F(x,y)=C$ ($C$, constante arbitraria), a la que se denomina integral general de la e.d., tal que $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}=P(x,y)$ y $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}=Q(x,y)$

Por un lado,
  $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}=2x+y \Rightarrow F(x,y)=x^2+xy+\phi(y) \quad (1)$

Y de otra parte,
  $\dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}=2y+x \Rightarrow F(x,y)=y^2+xy+\varphi(y) \quad (2)$

De $(1)$ se tiene que, manteniendo constante $x$,: $$\left(\dfrac{dF}{dy}\right)_x=x+\phi'(y)$$ que ha de ser igual a $Q(x,y)$, con lo cual, $$x+\phi'(y)=2y+x$$ esto es, $$\phi'(y)=2y$$ luego,
  $\dfrac{\phi(y)}{dy}=2y$
    $d(\phi(y))=2y\,dy$
      $\displaystyle\,\int\,d(\phi(y))=\int\,2y\,dy+\tilde{C}$
        $\phi(y)=y^2+\tilde{C}$

Sustituyendo en $(1)$: $$F(x,y)=x^2+xy+y^2+\tilde{C}$$ y como $F(x,y)=C$, se tiene que
$$x^2+xy+y^2=C$$ donde redifinimos la constante arbitraria como $C:=\tilde{C}-C$

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