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domingo, 18 de agosto de 2024

Ejemplo de integración de una EDO exacta

Vamos a integrar la siguiente EDO: (2x+y)\,dx+(2y+x)\,dy=0 que es del tipo \dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,x}\,dx+\dfrac{\partial\,F(x,y)}{\partial\,y}\,dy=0

Observemos que P(x,y)=2x+y y Q(x,y)=2y+x. Veamos las derivadas partiales \dfrac{\partial\,P}{\partial\,y}=1 y \dfrac{\partial\,P}{\partial\,x}=1; entonces, como \dfrac{\partial\,P}{\partial\,y}=\dfrac{\partial\,P}{\partial\,x}, se trata de una EDO exacta.

Con lo cual, existe una familia de funciones F(x,y)=C (C, constante arbitraria), a la que se denomina integral general de la e.d., tal que \dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}=P(x,y) y \dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}=Q(x,y)

Por un lado,
  \dfrac{\partial\,F}{\partial\,x}=2x+y \Rightarrow F(x,y)=x^2+xy+\phi(y) \quad (1)

Y de otra parte,
  \dfrac{\partial\,F}{\partial\,y}=2y+x \Rightarrow F(x,y)=y^2+xy+\varphi(y) \quad (2)

De (1) se tiene que, manteniendo constante x,: \left(\dfrac{dF}{dy}\right)_x=x+\phi'(y) que ha de ser igual a Q(x,y), con lo cual, x+\phi'(y)=2y+x esto es, \phi'(y)=2y luego,
  \dfrac{\phi(y)}{dy}=2y
    d(\phi(y))=2y\,dy
      \displaystyle\,\int\,d(\phi(y))=\int\,2y\,dy+\tilde{C}
        \phi(y)=y^2+\tilde{C}

Sustituyendo en (1): F(x,y)=x^2+xy+y^2+\tilde{C} y como F(x,y)=C, se tiene que
x^2+xy+y^2=C donde redifinimos la constante arbitraria como C:=\tilde{C}-C

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