Nos proponemos integrar la siguiente EDO: $$3\,y'-6\,\,y=2$$
Notemos que se trata de una EDO lineal no homogénea, pero esta vez no voy a utilizar el método de encontrar la solución de la e. homogénea y una solución particular, para sumarlas y obtener la s. general. De manera alternativa, voy a probar un cambio de variable: $y=u\,v$; así, $y'=u'\,v+v'\,u$. Al sustituir en la e. pedida:
$3\,(u'\,v+v'\,u)-6\,u\,v=2$
$3\,u'\,v+3\,v'\,u-6\,u\,v=2$
$3\,u'\,v+u\,(3\,v'-6\,v)=2 \quad (1)$
El coeficiente de $u$, $3\,v'-6\,v$, toma la forma del primer miembro de la e. homogénea de la e. pedida, luego, igualándolo a cero, se tiene que
$3\,v'-6\,v=0$
$v'-2\,v=0$
$\dfrac{dv}{dx}-2\,v=0$
$\dfrac{dv}{v}=2\,dx$
$\displaystyle \int\,\dfrac{dv}{v}=\int\,2\,dx$
$\ln(v)=2x+\ln(C)$
$\ln(v)-\ln(C)=2x$
$\ln\left(\dfrac{v}{C}\right)=2x$
$\dfrac{v}{C}=e^{2x}$
$v=C\,e^{2x} \quad (2)$
Y sustituyendo en $(1)$,
$3\,u'\,v+u\cdot 0 =2$
$3\,u'\cdot (C\,e^{2x})+0=2$
$3\,C\,u'\,e^{2x}=2$
$3\,C\,\dfrac{du}{dx}\,e^{2x}=2$
$C\,du=\dfrac{2}{3}\,e^{-2x}$
$\displaystyle \int\,C\,du=\int\,\dfrac{2}{3}\,e^{-2x}$
$\displaystyle C\,u=\dfrac{2}{3}\cdot (-\dfrac{1}{2})\,e^{-2x}$
$\displaystyle C\,u=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}$
Deshaciendo ahora el cambio de variable, $u=\dfrac{y}{v}$, y teniendo en cuenta $(2)$, $u=\dfrac{y}{C\,e^{2x}}$, con lo cual de la línea anterior se sigue que,
$\displaystyle C\,\dfrac{y}{C\,e^{2x}}=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}$
$\displaystyle \dfrac{y}{e^{2x}}=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}$
$y=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}\cdot e^{2x}+\tilde{C}\,e^{2x}$
$y=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x+2x}+\tilde{C}\,e^{2x}$
$y=-\dfrac{1}{3}\,e^{0}+\tilde{C}\,e^{2x}$
$y=-\dfrac{1}{3}\cdot 1+\tilde{C}\,e^{2x}$
$y=\tilde{C}\,e^{2x}-\dfrac{1}{3}$
$\diamond$
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