Nos proponemos integrar la siguiente EDO: 3\,y'-6\,\,y=2
Notemos que se trata de una EDO lineal no homogénea, pero esta vez no voy a utilizar el método de encontrar la solución de la e. homogénea y una solución particular, para sumarlas y obtener la s. general. De manera alternativa, voy a probar un cambio de variable: y=u\,v; así, y'=u'\,v+v'\,u. Al sustituir en la e. pedida:
3\,(u'\,v+v'\,u)-6\,u\,v=2
3\,u'\,v+3\,v'\,u-6\,u\,v=2
3\,u'\,v+u\,(3\,v'-6\,v)=2 \quad (1)
El coeficiente de u, 3\,v'-6\,v, toma la forma del primer miembro de la e. homogénea de la e. pedida, luego, igualándolo a cero, se tiene que
3\,v'-6\,v=0
v'-2\,v=0
\dfrac{dv}{dx}-2\,v=0
\dfrac{dv}{v}=2\,dx
\displaystyle \int\,\dfrac{dv}{v}=\int\,2\,dx
\ln(v)=2x+\ln(C)
\ln(v)-\ln(C)=2x
\ln\left(\dfrac{v}{C}\right)=2x
\dfrac{v}{C}=e^{2x}
v=C\,e^{2x} \quad (2)
Y sustituyendo en (1),
3\,u'\,v+u\cdot 0 =2
3\,u'\cdot (C\,e^{2x})+0=2
3\,C\,u'\,e^{2x}=2
3\,C\,\dfrac{du}{dx}\,e^{2x}=2
C\,du=\dfrac{2}{3}\,e^{-2x}
\displaystyle \int\,C\,du=\int\,\dfrac{2}{3}\,e^{-2x}
\displaystyle C\,u=\dfrac{2}{3}\cdot (-\dfrac{1}{2})\,e^{-2x}
\displaystyle C\,u=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}
Deshaciendo ahora el cambio de variable, u=\dfrac{y}{v}, y teniendo en cuenta (2), u=\dfrac{y}{C\,e^{2x}}, con lo cual de la línea anterior se sigue que,
\displaystyle C\,\dfrac{y}{C\,e^{2x}}=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}
\displaystyle \dfrac{y}{e^{2x}}=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}+\tilde{C}
y=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x}\cdot e^{2x}+\tilde{C}\,e^{2x}
y=-\dfrac{1}{3}\,e^{-2x+2x}+\tilde{C}\,e^{2x}
y=-\dfrac{1}{3}\,e^{0}+\tilde{C}\,e^{2x}
y=-\dfrac{1}{3}\cdot 1+\tilde{C}\,e^{2x}
y=\tilde{C}\,e^{2x}-\dfrac{1}{3}
\diamond
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