La desigualdad triangular con la operación módulo en el conjunto de los números complejos: $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

Sean números complejos cualesquiera, $z_1=a_1+i\,b_1$, $z_2=a_2+i\,b_2;\, a_1,b_1,a_2,b_2\in \mathbb{R}$. Queremos demostrar que se cumple la desigualdad triangular con la operación módulo: $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

  $|z_1+z_2|^2=$
    $=(z_1+z_2)\,\overline{(z_1+z_2)}$
      $=(z_1+z_2)\,(\overline{z_1}+\overline{z_2})$
        $=z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}+z_1\,\overline{z_1}+z_2\,\overline{z_2}$
          $=z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}+|z_1|^2+|z_2|^2 \quad (1)$

Desarrollando los dos primeros términos del segundo miembro:
  $z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}=$
    $=(a_1+\,i\,b_1)\,(a_2-i\,b_2)+(a_2+\,i\,b_2)\,(a_1-i\,b_1)$
      $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+i\,(a_2\,b_1-a_1\,b_2+a_1\,b_2-a_2\,b_1)$
        $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+i\,0$
          $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)$

Entonces, podemos escribir $(1)$ de la forma,
  $|z_1+z_2|^2=$
    $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+|z_1|^2+|z_2|^2 \quad (2)$

Por otra parte,
  $|z_1|\,|z_2|=$
    $=\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}$
      $=\sqrt{(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}$
        $=\sqrt{a_{1}^{2}\,a_{2}^{2}+b_{1}^{2}\,b_{2}^{2}+a_{1}^{2}\,b_{2}^{2}+a_{2}^{2}\,b_{1}^{2}}$
          $=\sqrt{(a_1\,a_2)^2+(b_1\,b_2)^2 + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
            $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-2\,a_1\,a_2\,b_1\,b_2 + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
              $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-2\,(a_1\,b_2)\,(a_2\,b_1) + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
                $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-((a_1\,b_2)-(a_2\,b_1))^2}$
                  $\ge \sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2}=a_1\,a_2+b_1\,b_2$
En consecuencia,
  $a_1\,a_2+b_1\,b_2 \le |z_1|\,|z_2|$

Por lo que, de $(2)$, se deduce que
  $|z_1+z_2|^2\le 2\,|z_1|\,|z_2|+|z_1|^2+|z_2|^2$
es decir,
  $|z_1+z_2|^2\le (|z_1|+|z_2|)^2 \Rightarrow |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|$
$\diamond$