Raíz n-ésima de un número complejo

Recordemos que los $n$ números complejos que son solución de $\sqrt[n]{z}$, donde $z=s\,e^{i\,\beta}$, tienen la forma $w_k =\sqrt[n]{s}\,e^{i\,\dfrac{\beta+2\,\pi\cdot k}{n}}\;,k=0,1,\ldots,n-1$

Ejemplo: ¿$\sqrt[4]{16\,i}$? El argumento de la raíz cuaddrada es $z=16\,i=2^4\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}$, entonces $s=2^4$ y $\beta=\dfrac{\pi}{2}$, con lo cual la solución está formada por cuatro valores (complejos), puesto que el índice del radical es $4$ $$w_k=\sqrt[4]{2^4}\;e^{i\,\dfrac{\frac{\pi}{2}+2\,\pi \cdot k}{4}}\;; k=0,1,2,3$$ esto es, $$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} w_0=2\,e^{i\,\frac{1}{8}\,\pi}\\ w_1=2\,e^{i\,\frac{5}{8}\,\pi} \\ w_2=2\,e^{i\,\frac{9}{8}\,\pi} \\ w_3=2\,e^{i\,\frac{13}{8}\,\pi} \end{matrix} \right.$$ $\diamond$

Algunos cálculos rutinarios de raíces de números complejos

1. ¿$\sqrt{1-i}$? El argumento de la raíz cuaddrada es $1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\,\frac{\pi}{4}}$, entonces $s=\sqrt{2}$ y $\beta=\dfrac{\pi}{4}$, con lo cual la solución viene dada por dos valores (el índice del radical es $2$) $$w_k=\sqrt{s}\;e^{i\,\dfrac{\beta+2\,\pi \cdot k}{2}}\;; k=0,1$$ esto es, $\displaystyle \left\{\begin{matrix} w_0=\sqrt{\sqrt{2}}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{4}+2\,\pi \cdot 0)}{2}}=2^{1/4}\,e^{-i\,\pi/8}\\ w_1=\sqrt{\sqrt{2}}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{4}+2\,\pi \cdot 1)}{2}}=2^{1/4}\,e^{i\,\frac{7}{8}\,\pi}\end{matrix}\right.$
2. ¿$\sqrt[3]{-8}$? El argumento de la raíz cúbica es $-8=8\,e^{i\,\pi}$, luego $s=8$ y $\beta=\pi$, por lo tanto la solución consta de tres valores (el índice del radical es $3$): $$w_k=\sqrt[3]{s}\;e^{i\,\dfrac{\beta+2\,\pi \cdot k}{3}}\;; k=0,1,2$$ es decir, $\displaystyle \left\{\begin{matrix} w_0=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 0)}{2}}=2\,e^{i\,\frac{\pi}{3}}\\ w_1=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 1)}{2}}=2\,e^{i\,\pi}\\ w_2=\sqrt[3]{8}\,e^{\frac{i\,(-\frac{\pi}{3}+2\,\pi \cdot 2)}{2}}=2\,e^{i\,\frac{5}{3}\,\pi}\end{matrix}\right.$

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$\text{arctan}(z)=-\dfrac{i}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+i\,z}{1-i\,z}\right)$

Consideremos $z,w\in \mathbb{C}$ tales que $z=\tan(w)$. Queremos demostrar que $$\text{arctan}(z)=-\dfrac{i}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+i\,z}{1-i\,z}\right)$$

Partamos de la fórmula de Euler $e^{i\,\tilde{z}}=\cos(\tilde{z})+i\,\sin(\tilde{z})\quad (1)$ siendo $\tilde{z}$ un número complejo cualquiera. Entonces, de $z=\tan(w)$, se tiene que $w=\text{arctan}(z) \quad (1')$, y como, en el caso que nos ocupa, $\tilde{z}=w$, de acuerdo con $(1)$, vamos a emplear la fórmula de Euler $(1)$ para desarrollar, según ésta, $e^{i\,w}=e^{i\,\text{arctan}(z)} \quad (2)$
 

Préviamente, tengamos en cuanta que, por definición, $\tan(w)=\dfrac{\sin(w)}{\cos(w)} \quad (3)$, y, por la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2(w)+\cos^2(w)=1 \quad (4)$. Dividiendo ambos miembros de $(3)$ por $\cos^2(w)$, obtenemos $\tan^2(w)+1=\dfrac{1}{\cos^2(w)} \Rightarrow \cos^2(w)=\dfrac{1}{1+\tan^2(w)}=\dfrac{1}{1+z^2} \Rightarrow \cos(w)=\sqrt{\dfrac{1}{1+z^2}} \quad (5)$

Por otra parte, de $(4)$, se tiene que $\sin^2(w)=1-\cos^2(w)=1-\dfrac{1}{\tan^2(w)+1}=\dfrac{\tan^2(w)}{1+\tan^2(w)}=\dfrac{z^2}{1+z^2}\Rightarrow \sin(w)=\sqrt{\dfrac{z^2}{1+z^2}} \quad (6)$

Teniendo en cuanta ahora $(5)$ y $(6)$, vemos que $(2)$ se expresa de la siguiente manera:
  $e^{i\,w}=e^{i\,\text{arctan}(z)}$
    $e^{i\,w}=\cos\,(\text{arctan}(z))+i\,\sin(\text{arctan}(z))$
      $e^{i\,w}=\sqrt{\dfrac{1}{1+z^2}}+i\,\sqrt{\dfrac{z^2}{1+z^2}}$
        $e^{i\,w}=\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}+\dfrac{i\,z}{\sqrt{1+z^2}}$
          $e^{i\,w}=\dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}}$
y tomando logaritmos en sendos miembros:
          $\ln\,\left(e^{i\,w}\right)=\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
            $i\,w\,\ln\,(e)=\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
              $i\,w\cdot 1=\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
                $i\,w=\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
además, teniendo en cuenta $(1')$,
                  $i\,\text{arctan}(z)=\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
luego,
                    $i\cdot i\,\text{arctan}(z)=i\,\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
                      $i^2\,\text{arctan}(z)=i\,\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
                        $-\,\text{arctan}(z)=i\,\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
                          $\text{arctan}(z)=-i\,\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{1+z^2}} \right)$
                            $\text{arctan}(z)=-i\,\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{\sqrt{(1+i\,z)(1-i\,z)}} \right)$
                          $\text{arctan}(z)=-i\,\ln\,\left( \dfrac{\sqrt{(1+i\,z)^2}}{\sqrt{(1+i\,z)(1-i\,z)}} \right)$
                        $\text{arctan}(z)=-i\,\ln\,\left( \sqrt{\dfrac{(1+i\,z)^2}{(1+i\,z)(1-i\,z)}} \right)$
                      $\text{arctan}(z)=-i\,\ln\,\left( \sqrt{\dfrac{1+i\,z}{1-i\,z}} \right)$
                    $\text{arctan}(z)=-i\,\ln\,\left(\left( \dfrac{1+i\,z}{1-i\,z}\right) \right)^{\frac{1}{2}}$
                  $\text{arctan}(z)=-i\, \dfrac{1}{2}\,\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{1-i\,z} \right)$
                $\text{arctan}(z)=-\dfrac{i}{2}\,\ln\,\left( \dfrac{1+i\,z}{1-i\,z} \right)$
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Curvas en el plano descritas mediante variable compleja

Queremos identificar la curva que, en el plano complejo, viene dada por $$\mathcal{Re}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{9}$$

Siendo $z=x+i\,y$, escribamos $\dfrac{1}{z}$ de la siguiente manera:
$$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{z}\cdot \dfrac{\bar{z}}{\bar{z}}=\dfrac{\bar{z}}{z\,\bar{z}}=\dfrac{x-i\,y}{x^2+y^2}=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\,\dfrac{y}{x^2+y^2}$$ con lo cual es claro que
  $\mathcal{Re}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$
Entonces la curva pedida, puede escribirse de manera equivalente, en coordenadas cartesianas, y ya pensando en el plano euclídeo $\mathbb{R}^2$, como:
$$\dfrac{x}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{9}$$ esto es, $$x^2+y^2-9x=0$$ que corresponde claramente a una cúbica y, que, de manera equivalente, puede escribirse de la forma:
$$\left(x-\dfrac{9}{2}\right)^2+(y-0)^2=\left(\dfrac{9}{2}\right)^2$$ la cual identificamos como la ecuación de una circunferencia, de centro $C\left(\dfrac{9}{2},0\right)$ y radio igual a $\dfrac{9}{2}$

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$\cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}+e^{-i\,\alpha}}{2}$ y $\sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}-e^{-i\,\alpha}}{2\,i}$

Vamos a justificar las siguientes fórmulas: $$\cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}+e^{-i\,\alpha}}{2}$$ y $$\sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}-e^{-i\,\alpha}}{2\,i}$$

Conocemos la fórmula de Euler: todo número complejo $z=a+i\,b$ puede escribirse de la forma $z=|z|\cdot e^{i\,\alpha}=|z|\cdot (\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha))$, donde $|z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha$ representa el argumento de $z$

El número complejo conjugado de $z$ es $\bar{z}=a-i\,b=|z|\cdot e^{-i\,\alpha}$, ya que $|\bar{z}|=|z|$ y $\text{Arg}(\bar{z})=-\text{Arg}(z)=-\alpha$

Hagamos la suma $z+\bar{z}$:
  $z+\bar{z}=\left\{\begin{matrix}|z|\cdot (\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha)) + |z|\cdot (\cos(\alpha)+\,\sin(\alpha)) = 2\,|z|\,\cos(\alpha) \\ |z|\cdot e^{i\,\alpha} + |z|\cdot e^{-i\,\alpha}\end{matrix}\right.\Rightarrow$
    $\Rightarrow 2\,|z|\,\cos(\alpha) = |z|\, (e^{i\,\alpha} + e^{-i\,\alpha}) \Rightarrow \cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}+e^{-i\,\alpha}}{2}$

Hagamos ahora la diferencia $z-\bar{z}$:
  $z-\bar{z}=\left\{\begin{matrix}|z|\cdot (\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha)) - |z|\cdot (\cos(\alpha)-\,\sin(\alpha)) = 2\,|z|\,i\,\sin(\alpha) \\ |z|\cdot e^{i\,\alpha} - |z|\cdot e^{-i\,\alpha}\end{matrix}\right.\Rightarrow$
    $\Rightarrow 2\,|z|\,i\sin(\alpha) = |z|\, (e^{i\,\alpha} - e^{-i\,\alpha}) \Rightarrow \sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\,\alpha}-e^{-i\,\alpha}}{2\,i}$
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Raíz $n$-ésima de un número complejo

Voy a calcular, como ejercicio, los valores de $\sqrt[3]{8\,i}$ en el conjunto de los números complejos:

Sabemos que, siendo $z\in \mathbb{C}$, entonces existen $n$ valores (en $\mathbb{C}$) como resultado de $\sqrt[n]{z}$. En concreto, $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \left( \cos\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\,\sin\,\left(\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right) \right)$, con $k=0,1,2,\ldots,n-1$, donde $\varphi$ es el primer argumento de $z$. En este caso, como $z=8\,i$, se tiene que $|z|=8$ y $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, y $n=3$, con lo cual: $$\sqrt[3]{8\,i}=\left\{\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+0\cdot 2\pi}{3}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+0\cdot 2\pi}{3}\right)=\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\,\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\,\dfrac{1}{2}& (\text{para}\,\,k=0) \\ \cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+1\cdot 2\pi}{3}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+1\cdot 2\pi}{3}\right)=\cos(\dfrac{5\,\pi}{6})+i\,\sin(\dfrac{5\,\pi}{6})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\,\dfrac{1}{2}& (\text{para}\,\,k=1) \\ \cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+2\cdot 2\pi}{3}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+2\cdot 2\pi}{3}\right)=\cos(\dfrac{3\,\pi}{2})+i\,\sin(\dfrac{3\,\pi}{2})=-1+i\cdot 0=-1& (\text{para}\,\,k=2)\end{matrix}\right.$$ $\diamond$

Módulo y argumento principal de número complejo que resulta del producto de dos números complejos

Sin realizar explícitamente el producto $(1+i)\cdot (1-i)$, ¿cuál es el módulo y el argumento principal del número complejo resultante?

Sabemos que el módulo del producto de dos números complejos es el producto de los módulos de los factores, y su argumento principal es igual a la suma de los argumentos de los factores. Entonces, como $|1+i|=|1-i|=\sqrt{2}$, $\text{Arg}(1+i)=\dfrac{\pi}{4}$ y $\text{Arg}(1-i)=-\dfrac{\pi}{4}$, se tiene que $|(1+i)\cdot (1-i)|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ y $\text{Arg}((1+i)\cdot (1-i))=\dfrac{\pi}{4}+(-\dfrac{\pi}{4})=0$
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Otra desigualdad con módulos: $|z_1+z_2|\ge |z_1|-|z_2|$

En el artículo anterior a éste, hemos demostrado que $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2| \quad (1)$ (desigualdad triangular referida al módulo de los números complejos). Ahora, valiéndonos de dicho resultado, vamos a demostrar que $|z_1+z_2|\ge |z_1|-|z_2|$

Podemos escribir $z_1$ de la forma,
  $z_1=z_1+z_2+(-z_2)$
Entonces, por la desigualdad triangular $(1)$, se tiene que
  $|z_1|\le |z_1+z_2|+|-z_2|$
Y, como $|-z_2|=|z_2|$, lo anterior lleva a
  $|z_1|\le |z_1+z_2|+|z_2|$
Por tanto,
  $|z_1|-|z_2| \le |z_1+z_2|$
con lo cual
  $|z_1+z_2| \ge |z_1|-|z_2|$

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La desigualdad triangular con la operación módulo en el conjunto de los números complejos: $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

Sean números complejos cualesquiera, $z_1=a_1+i\,b_1$, $z_2=a_2+i\,b_2;\, a_1,b_1,a_2,b_2\in \mathbb{R}$. Queremos demostrar que se cumple la desigualdad triangular con la operación módulo: $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

  $|z_1+z_2|^2=$
    $=(z_1+z_2)\,\overline{(z_1+z_2)}$
      $=(z_1+z_2)\,(\overline{z_1}+\overline{z_2})$
        $=z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}+z_1\,\overline{z_1}+z_2\,\overline{z_2}$
          $=z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}+|z_1|^2+|z_2|^2 \quad (1)$

Desarrollando los dos primeros términos del segundo miembro:
  $z_1\,\overline{z_2}+z_2\,\overline{z_1}=$
    $=(a_1+\,i\,b_1)\,(a_2-i\,b_2)+(a_2+\,i\,b_2)\,(a_1-i\,b_1)$
      $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+i\,(a_2\,b_1-a_1\,b_2+a_1\,b_2-a_2\,b_1)$
        $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+i\,0$
          $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)$

Entonces, podemos escribir $(1)$ de la forma,
  $|z_1+z_2|^2=$
    $=2\,(a_1\,a_2+b_1\,b_2)+|z_1|^2+|z_2|^2 \quad (2)$

Por otra parte,
  $|z_1|\,|z_2|=$
    $=\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}$
      $=\sqrt{(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}$
        $=\sqrt{a_{1}^{2}\,a_{2}^{2}+b_{1}^{2}\,b_{2}^{2}+a_{1}^{2}\,b_{2}^{2}+a_{2}^{2}\,b_{1}^{2}}$
          $=\sqrt{(a_1\,a_2)^2+(b_1\,b_2)^2 + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
            $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-2\,a_1\,a_2\,b_1\,b_2 + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
              $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-2\,(a_1\,b_2)\,(a_2\,b_1) + (a_{1}\,b_{2})^{2}+(a_{2}\,b_{1})^{2}}$
                $=\sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2-((a_1\,b_2)-(a_2\,b_1))^2}$
                  $\ge \sqrt{((a_1\,a_2)+(b_1\,b_2))^2}=a_1\,a_2+b_1\,b_2$
En consecuencia,
  $a_1\,a_2+b_1\,b_2 \le |z_1|\,|z_2|$

Por lo que, de $(2)$, se deduce que
  $|z_1+z_2|^2\le 2\,|z_1|\,|z_2|+|z_1|^2+|z_2|^2$
es decir,
  $|z_1+z_2|^2\le (|z_1|+|z_2|)^2 \Rightarrow |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|$
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Módulo del cociente entre un número complejo no nulo y su conjugado

Sea $a-i\,b;\, a,b \in \mathbb{R}$ un número complejo no nulo. En estas condiciones, queremos demostrar que $\left| \dfrac{a+i\,b}{a-i\,b}\right|=\left| \dfrac{a-i\,b}{a+i\,b}\right|=1$

El complejo conjugado de $a-i\,b$ es $a+i\,b$ (y recíprocamente), luego $\left|a-i\,b \right|=\left|a+i\,b \right| \quad (1)$; por otra parte, sabemos que el módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de los módulos de los mismos: $\left| \dfrac{a+i\,b}{a-i\,b}\right|=\dfrac{\left|a+i\,b \right|}{\left|a-i\,b \right|}\overset{(1)}{=}1$. Y, de manera similar, $\left| \dfrac{a-i\,b}{a+i\,b}\right|=\dfrac{\left|a-i\,b \right|}{\left|a+i\,b \right|}\overset{(1)}{=}1$   $\diamond$

Radicación de números complejos

Siendo $z\in \mathbb{C}$, nos proponemos resolver la ecuación $$z^3=1+i$$

Es evidente que $z=\sqrt[3]{1+i}$. Sabemos, que la raíz $n$-ésima de un número complejo, como es $w=1+i$, tiene $n$ soluciones: $\sqrt[n]{|w|}\cdot e^{i\dfrac{\text{arg}(w)+2\pi\,k}{n}}\,;k=0,1,2, \ldots,n-1$, donde $\text{arg}(w)$ representa el valor principal (o primer valor) del argumento de $w$, siendo $0\le \text{arg}(w) \lt 2\pi$, si bien también puede optarse por elegir otro intervalo de la misma longitud, $2\,\pi$, tal como $-\pi \lt \text{arg}(z)\le \pi$.

En este caso, pues, $w=1+1\cdot i$, siendo $|w|=\sqrt{(\mathcal{Re}(w))^2+\mathcal{Im}(w))^2}\overset{\mathcal{Re}(w)=1\;\;\mathcal{Im}(w)=1}{=}\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. En cuanto a $\text{Arg}(w)$ (argumento de $w$), tenemos que su valor principal es $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{\mathcal{Im}(w)}{|w|}\right)$, y, en nuestro caso, $\text{arg}(w)=\text{arcsen}\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$, pues hay que tener en cuenta, además, que el afijo del $w$ en el plano de Argand se encuentra en el primer cuadrante, pues tanto la parte real como la imaginaria son cantidades positivas, por tanto estará entre $0$ y $\pi/2$ radianes.

Entonces, como $n=3$ (índice del radical), existen tres raíces: $$\left\{\begin{matrix} z_0=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 0}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi/4}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}} \\ z_1=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 1}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\,\pi}{12}} \\ \\ z_2=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot e^{i\,\frac{\pi/4+2\pi\cdot 2}{3}}=\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\,\pi}{12}} \end{matrix}\right.$$

-oOo- Comprobación:

• $(z_0)^3\overset{?}{=}1+i$; en efecto, $(z_0)^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}= \sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =$
  $=\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $
• $(z_1)^3\overset{?}{=}1+i$; así es: $(z_{1}^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{9\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 9\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{9\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(2\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $
• $(z_{2})^3 \overset{?}{=}1+i$; también se cumple: $(z_{2})^3=\left(\sqrt[6]{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{2}\right)^3\cdot\left(e^{i\,\frac{17\pi}{12}}\right)^3=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{3\cdot 17\,\pi}{12}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,\frac{17\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot e^{i\,(4\,\pi+\frac{\pi}{4})}=$
  $\sqrt{2}\cdot e^{i\,2\cdot 2\,\pi}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot 1\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\cdot \left( \cos\,(\frac{\pi}{4}) + i\,\sin\,(\frac{\pi}{4} ) \right) =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1+i $

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Una progresión geométrica con las potencias sucesivas de la unidad imaginaria $i$

$\displaystyle \sum_{k=3}^{15}\,i^k=i^3\,\sum_{k=0}^{12}\,i^k\overset{\text {Nota (1)}}{=}-i\cdot \left( i^0\cdot \dfrac{i^{13}-1}{i-1} \right)\overset{\text{Nota (2)}:\;\; 13\equiv 1\,(\text{mod}\,4) \Rightarrow i^{13}=i^1}{=}-i\cdot \left( 1 \cdot \dfrac{i^1-1}{i-1} \right)=i^3=-i\cdot 1 = -i$

-oOo- Nota (1):   $\displaystyle \sum_{k=0}^{12}\,r^k$ corresponde a la suma de la progresión geométrica de $n=13$ términos, $a_1+a_2+\underset{\overbrace{13}}{\ldots}+a_{13}$, de razón $r=i$; $a_1=i^0=1$ y $a_{12}=i^{12}$, y como $S_{n}=a_1\cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1}$, se tiene que $S_{13}=1\cdot \dfrac{i^{13}-1}{i-1}$
Nota (2):  Hay que tener en cuenta la relación cíclica: $i^0=1$, $i^1=i$; $i^2=-1$; $i^3=-i$; $i^4=1$ ... luego se estable una aritmética modular de módulo $4$.

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Cálculo del logaritmo de un número complejo

Vamos a calcular el logaritmo de un número complejo $z=a+ib$, donde $\mathcal{Re}(z)=a$ es la parte real, y $\mathcal{Im}(z)=b$ es la parte imaginaria, siendo $a,b\in \mathbb{R}$.

Para ello, nos conviene primero expresar el número complejo según la forma de Euler: $\displaystyle z=|z|\,e^{i\,\text{Arg}(z)}$, donde $\text{Arg}(z)=\text{arg}(z)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$ (expresado en radianes), tomando el argumento principal, $\text{arg}(z)$, en el intervalo $0 \le \text{arg}(z) \lt 2\pi$, o en otro intervalo de longitud $2\,\pi$, como es $-\pi \lt \text{arg}(z) \le \pi$; y, como ya sabemos, $\text{arg}(z)=\text{arctan}\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$ por consiguiente: $$\text{Arg}(z)=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi;\,\mathbb{Z}\ni k=0,1,2,\ldots$$

Desde luego, el logaritmo pedido es un número complejo $\mathbb{C} \ni w\equiv \ln(z)=c+id$, con $c=\mathcal{Re}(w),d=\mathcal{Im}(w)$, y por supuesto $c,d\in \mathbb{R}$, por lo tanto, $w=\ln\left(|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}\right)=c+id$. Teniendo en cuenta que $\ln\,(e^{i\,\text{Arg}(z)})=i\,\text{Arg}(z)$, se tiene que $$\displaystyle \ln\,(z)=\ln\,|z|+i\,\left(\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi\right);k=0,1,2,\ldots$$ Es decir, $c=|z|$ y $d=\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$.

-oOo-

Ejemplo. Sea $z=2+i$. Nos proponemos calcular $\ln\,z$. Pues bien, $\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\,\text{arg}(z)+2k\pi}$ siendo en este caso el argumento principal $0\lt \text{arg}(z)=\text{arctan}(1/2)\lt \pi/2$, ya que tanto la parte real como la parte imaginaria de $z$ son positivas (el afijo de dicho número se encuentra en el primer cuadrante). En consecuencia, $\ln\,z = c+ id$, con $c=\ln\,\sqrt{5}$ y $d=\text{arctan}(1/2)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, y vemos que, con ayuda de la calculadora, $\sqrt{5}\approx 0,8047$ y $\text{arctan}(1/2) \approx 0,4636\,\text{rad}$, luego el logaritmo pedido es $$\{\sqrt{5}+i\,\text{arctan}(1/2)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+2\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+4\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+6\pi)\,,\,\ldots\}$$ $\diamond$

Números complejos con GNU MAXIMA

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Raíz n-ésima de un número complejo

[Raíz n-ésima de un número complejo]

Demostración de la fórmula de De Moivre por inducción, sin tener que emplear la fórmula de Euler

Demostración de la fórmula de De Moivre por el método de inducción

Fórmula de De Moivre y fórmula de Euler

Arrel d'índex n d'un nombre complex

Considerem un nombre complex $z=a+i\,b$ (amb a i b, donats). Determinarem, tot seguit, el procediment per trobar els n valors de $\sqrt[n]{z}$

podem escriure el nombre complex $z$ de la forma trigonomètrica

$z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})$

on $r$ n'és el mòdul i $\alpha$ l'angle polar

per altra banda, és obvi que el radical

$\sqrt[n]{z}$

ha de donar també nombres complexos que podem escriure (forma trigonomètrica)

$w=s\,(\cos{\theta}+i\,\sin{\theta})$

(on $s$ n'és el mòdul i $\theta$ l'angle polar)

Per la propietat de reciprocitat, s'ha de complir que si

$w=\sqrt[n]{z}$

llavors

$z=w^n$

i per la fórmula de De Moivre

$w^n=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}$

per tant

$r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})=s^n \, (\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}$

llavors, deduïm que

T$r=s^n$ i, doncs, $s=\sqrt[n]{r}$

i

$n\,\theta_{k}=\alpha + 2k\pi \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1$

d'on, veiem que hi ha n valors com a solució

$\theta_{k}=\dfrac{\alpha+2k\pi}{n} \quad \text{on} \quad k=0,1,2,\ldots,n-1$

Exemple:

Calculem $\sqrt[2]{1+i}$

Tenint en compte que
$r=|\sqrt{2}|$
i
$\alpha=\dfrac{\pi}{4}$
podem escriure l'argument de l'arrel de la forma
$z=|\sqrt{2}|\, (\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{4}})$

llavors
$s=|\sqrt{\sqrt{2}}|=|\sqrt[4]{2}|$

i

$\theta_{k}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{2} \quad \text{on} \quad k=0,1$

aquests valors de l'angle polar són els següents

$\theta_0=\dfrac{\pi}{8}$

i

$\theta_1=\dfrac{9\,\pi}{8}$

per tant

$\sqrt{(1+i)}=\left\{ \begin{matrix} |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{\pi}{8}}) \\ \\ |\sqrt[4]{2}|\,(\cos{\dfrac{9\,\pi}{8}}+i\,\sin{\dfrac{9\,\pi}{8}}) \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

Una manera alternativa de resoldre-ho (viable, tan sols, quan l'índex del radical és igual a 2, com és el cas) és la següent:

Sabem, d'antuvi, que trobarem dos nombres (complexos) del tipus $x+y\,i$

per tant, escriurem que

$\sqrt{1+i}=x+y\,i$

Fent la potència al quadrat d'ambdós membres

$1+i=x^2-y^2 + 2xy\,i$

Llavors, per tal que es compleixi la igualtat caldrà igualar les parts reals dels dos membres, i, naturalment, també les parts imaginàries; obtindrem, per tant, un sistema de dues equacions de variable real

$1=x^2 - y^2 \quad \quad \text{(1)}$

$1=2xy \quad \quad \quad \; \; \text{(2)}$

Aïllant la variable $y$ de (2) i substituint l'expressió resultant en (1) trobem

$4x^4-4x^2-1=0$

equació biquadrada que resoldrem fent el canvi de variable $x^2=t$, transformant-la en una equació de 2n grau

$4t^2-4t-1=0$

que té les següents solucions

$t=\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Desfent, ara, el canvi de variable $x=\sqrt{t}$ arribem a les següents solucions reals (les solucions complexes no les tenim en compte, atès que $x$ representa els valors de la part real de $\sqrt{1+i}$

$x_1=\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|$

i

$x_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|$

Per cada valor de $x$ obtenim un valor de $y$, atesa la segona equació del sistema plantejat

$y=\frac{1}{2x}$

d'on traiem que

$y_1= \frac{1}{2} \, \left| \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{2}} } \right| $

i

$y_2=-\frac{1}{2}\,\left|\sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|$

i, per tant, les solucions de $\sqrt{1+i}$ són els nombres complexos

$z_1=\left| \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} \right|+\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i$

i

$z_2=-\left|\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right|-\frac{1}{2}\,\left| \sqrt{ \frac{2}{1+\sqrt{2}}} \right|\,i$

$\square$

Justificación de las fórmulas de Eulery de De Moivre a partir de la expresión de un número complejo dado en forma trigonométrica

Dado un número complejo expresado en forma binomial
$z=a+i\,b$
podemos expresarlo de forma trigonométrica
$z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})$
demostraremos la siguiente igualdad ( que se conoce como fórmula de Euler ):
$$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha}$$
con lo cual podremos escribir
$r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}$
por lo que, de aquí, entendemos que se puede expresar un número complejo $z$ de la siguiente forma
$z=r\,e^{i\,\alpha}$
expresión que se conoce como forma polar de $z$



Vamos ahora a justificar dicha expresión

Desarrollando en série de potencias (s. de Taylor) la funciones $\sin{\alpha}$ i $\cos{\alpha}$ alrededor de $\alpha=0$ vemos que

$\sin{\alpha}=\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots$

y

$\cos{\alpha}=1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots$

Componiendo la operación

$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}$

encontramos

$\big(\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots \big)+$
  $+i\,\big(1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots\big)$

que puede expresarse de la forma
$1+\dfrac{ix}{1!}+\dfrac{(ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^3}{3!}+\ldots+\dfrac{(ix)^n}{n!}+\ldots$

la cual coincide con el desarrollo en serie de potencias de la función

$e^{i\,\alpha}$

por lo que podemos escribir

$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha} \quad \quad (1)$

y de ahí que

$r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}) = r\, e^{i\,\alpha}$

y, por tanto, queda justificada la fórmula de Euler

$z=r\,e^{i\,\alpha}$

Observación:
Haciendo $\alpha:=\pi$ en (1), obtenemos la identidad de Euler:
$$-1=e^{i\,\pi}$$
o lo que es lo mismo
$$1+e^{i\,\pi}=0$$


$\square$

-oOo- Justificación de la fórmula de De Moivre:

Dado un número complejo expresado en la forma polar $r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}$
es inmediato ver que, de las propiedades elementales de la potenciación

$z^n=r^n \, e^{i\,n\,\alpha}$

y, teniendo en cuenta, por lo que, recurriendo otra vez a la fórmula de Euler, se puede escribir también así

$z^n=r^n \, \left( \cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)} \right)$

esto es

$\left( \cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)^n=\cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)}\, \quad n \in \mathbb{Z} $

fórmula conocida como fórmula de De Moivre

$\square$

Algunos ejercicios con números complejos

Enunciado:
Demostrar que siendo $z=\cos \,w \Leftrightarrow w=\arccos z$, entonces
  $\arccos\,z = -i \, \ln\big( z+i\,\sqrt{z^2-1}\big)$

Solución:
De la fórmula de Euler
    $e^{i\,w}=\cos\,w+i\,\sin\,w$
y teniendo en cuenta que
  $z=\cos\,w$
y que, por la identidad fundamental de la trigonometria
  $\sin\,w=\sqrt{1-z^2}$
tendremos
    $e^{i\,\arccos\,z}=z+i\,\sqrt{1-z^2}$
y, sacando logaritmos en cada miembro, podremos escribir
    $i\,\arccos\,z=\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
de donde
    $\arccos\,z=\dfrac{1}{i}\,\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
que es igual a
    $\arccos\,z=-i\,\ln \big(z+i\,\sqrt{1-z^2}\big)$
$\square$

Enunciado:
Demostrar que siendo $z=\sin \,w \Leftrightarrow \arcsin z$, entonces
  $\arcsin\,z = -i \, \ln\big( \sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$

Solución:
De la fórmula de Euler
    $e^{i\,w=\cos\,w+i\,\sin\,w}$
y teniendo en cuenta que
  $w=\arcsin\,z$
además de la identidad fundamental de la trigonometria
  $\sin^2\,w+\cos^2\,w=1$
tendremos
    $e^{i\,\arcsin\,z}=\sqrt{1-\sin^2\,w}+i\,\sin\,w$
y habida cuenta de que $\sin\,w=z$,
    $e^{i\,\arcsin\,z}=\sqrt{1-z^2\,w}+i\,z$
sacando logaritmos en cada miembro podremos escribir
    $i\,\arcsin\,z=\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$
de donde
    $\arcsin\,z=\dfrac{1}{i}\,\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$
que es igual a
    $\arcsin\,z=-i\,\ln \big(\sqrt{1-z^2}+i\,z\big)$

Nota: Siguiendo procedimientos similares se puede demostrar también que $\text{arctan}\,z=-\dfrac{i}{2}\,\ln\,\left( \dfrac{1+iz}{1-iz} \right)$ y $\text{arccotan}\,z=-\dfrac{i}{2}\,\ln\,\left( \dfrac{z+i}{z-i} \right)$

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