Dado un número complejo expresado en forma binomial
z=a+i\,b
podemos expresarlo de forma trigonométrica
z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})
demostraremos la siguiente igualdad ( que se conoce como fórmula de Euler ):
\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha}
con lo cual podremos escribir
r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}
por lo que, de aquí, entendemos que se puede expresar un número complejo z de la siguiente forma
z=r\,e^{i\,\alpha}
expresión que se conoce como forma polar de z
Vamos ahora a justificar dicha expresión
Desarrollando en série de potencias (s. de Taylor) la funciones \sin{\alpha} i \cos{\alpha} alrededor de \alpha=0 vemos que
\sin{\alpha}=\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots
y
\cos{\alpha}=1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots
Componiendo la operación
\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}
encontramos
\big(\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots \big)+
+i\,\big(1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots\big)
que puede expresarse de la forma
1+\dfrac{ix}{1!}+\dfrac{(ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^3}{3!}+\ldots+\dfrac{(ix)^n}{n!}+\ldots
la cual coincide con el desarrollo en serie de potencias de la función
e^{i\,\alpha}
por lo que podemos escribir
\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha} \quad \quad (1)
y de ahí que
r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}) = r\, e^{i\,\alpha}
y, por tanto, queda justificada la fórmula de Euler
z=r\,e^{i\,\alpha}
Observación:
Haciendo \alpha:=\pi en (1), obtenemos la identidad de Euler:
-1=e^{i\,\pi}
o lo que es lo mismo
1+e^{i\,\pi}=0
\square
Dado un número complejo expresado en la forma polar r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}
es inmediato ver que, de las propiedades elementales de la potenciación
z^n=r^n \, e^{i\,n\,\alpha}
y, teniendo en cuenta, por lo que, recurriendo otra vez a la fórmula de Euler, se puede escribir también así
z^n=r^n \, \left( \cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)} \right)
esto es
\left( \cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)^n=\cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)}\, \quad n \in \mathbb{Z}
fórmula conocida como fórmula de De Moivre
\square
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