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jueves, 29 de abril de 2021

Justificación de las fórmulas de Eulery de De Moivre a partir de la expresión de un número complejo dado en forma trigonométrica

Dado un número complejo expresado en forma binomial
z=a+i\,b
podemos expresarlo de forma trigonométrica
z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})
demostraremos la siguiente igualdad ( que se conoce como fórmula de Euler ):
\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha}


con lo cual podremos escribir
r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}
por lo que, de aquí, entendemos que se puede expresar un número complejo z de la siguiente forma
z=r\,e^{i\,\alpha}
expresión que se conoce como forma polar de z



Vamos ahora a justificar dicha expresión

Desarrollando en série de potencias (s. de Taylor) la funciones \sin{\alpha} i \cos{\alpha} alrededor de \alpha=0 vemos que

\sin{\alpha}=\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots

y

\cos{\alpha}=1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots

Componiendo la operación

\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}

encontramos

\big(\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots \big)+
  +i\,\big(1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots\big)

que puede expresarse de la forma
1+\dfrac{ix}{1!}+\dfrac{(ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^3}{3!}+\ldots+\dfrac{(ix)^n}{n!}+\ldots

la cual coincide con el desarrollo en serie de potencias de la función

e^{i\,\alpha}

por lo que podemos escribir

\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha} \quad \quad (1)

y de ahí que

r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}) = r\, e^{i\,\alpha}

y, por tanto, queda justificada la fórmula de Euler

z=r\,e^{i\,\alpha}

Observación:
Haciendo \alpha:=\pi en (1), obtenemos la identidad de Euler:
-1=e^{i\,\pi}

o lo que es lo mismo
1+e^{i\,\pi}=0



\square

-oOo-
Justificación de la fórmula de De Moivre:

Dado un número complejo expresado en la forma polar r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}
es inmediato ver que, de las propiedades elementales de la potenciación

z^n=r^n \, e^{i\,n\,\alpha}

y, teniendo en cuenta, por lo que, recurriendo otra vez a la fórmula de Euler, se puede escribir también así

z^n=r^n \, \left( \cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)} \right)

esto es

\left( \cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)^n=\cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)}\, \quad n \in \mathbb{Z}

fórmula conocida como fórmula de De Moivre

\square

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