Justificación de las fórmulas de Eulery de De Moivre a partir de la expresión de un número complejo dado en forma trigonométrica

Dado un número complejo expresado en forma binomial
$z=a+i\,b$
podemos expresarlo de forma trigonométrica
$z=r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha})$
demostraremos la siguiente igualdad ( que se conoce como fórmula de Euler ):
$$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha}$$
con lo cual podremos escribir
$r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}$
por lo que, de aquí, entendemos que se puede expresar un número complejo $z$ de la siguiente forma
$z=r\,e^{i\,\alpha}$
expresión que se conoce como forma polar de $z$



Vamos ahora a justificar dicha expresión

Desarrollando en série de potencias (s. de Taylor) la funciones $\sin{\alpha}$ i $\cos{\alpha}$ alrededor de $\alpha=0$ vemos que

$\sin{\alpha}=\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots$

y

$\cos{\alpha}=1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots$

Componiendo la operación

$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}$

encontramos

$\big(\alpha-\dfrac{\alpha^3}{3!}+\dfrac{\alpha^5}{5!}-\ldots + (-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots \big)+$
  $+i\,\big(1-\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dfrac{\alpha^4}{4!}-\dfrac{\alpha^6}{6!}+\ldots+(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}+\ldots\big)$

que puede expresarse de la forma
$1+\dfrac{ix}{1!}+\dfrac{(ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^3}{3!}+\ldots+\dfrac{(ix)^n}{n!}+\ldots$

la cual coincide con el desarrollo en serie de potencias de la función

$e^{i\,\alpha}$

por lo que podemos escribir

$\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}=e^{i\,\alpha} \quad \quad (1)$

y de ahí que

$r\,(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}) = r\, e^{i\,\alpha}$

y, por tanto, queda justificada la fórmula de Euler

$z=r\,e^{i\,\alpha}$

Observación:
Haciendo $\alpha:=\pi$ en (1), obtenemos la identidad de Euler:
$$-1=e^{i\,\pi}$$
o lo que es lo mismo
$$1+e^{i\,\pi}=0$$


$\square$

-oOo- Justificación de la fórmula de De Moivre:

Dado un número complejo expresado en la forma polar $r\,\left(\cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)=r\,e^{i\,\alpha}$
es inmediato ver que, de las propiedades elementales de la potenciación

$z^n=r^n \, e^{i\,n\,\alpha}$

y, teniendo en cuenta, por lo que, recurriendo otra vez a la fórmula de Euler, se puede escribir también así

$z^n=r^n \, \left( \cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)} \right)$

esto es

$\left( \cos{\alpha}+i\,\sin{\alpha}\right)^n=\cos{(n\,\alpha)} +i\,\sin{(n\,\alpha)}\, \quad n \in \mathbb{Z}$

fórmula conocida como fórmula de De Moivre

$\square$