Encunciado:
Sea
A=\{ x \in \mathbb{R}: \dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \prec 0 \}
Demostrar que A está acotado y calcular su supremo y su ínfimo
Solución:
Sea
Multiplicando ambos miembros de
\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \prec 0
por (x-3)^2\,(x-4)^2
y, simplificando, se llega a
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\prec 0
que és un polinomio de cuarto grado cuatro P_{4}(x), cuyas raíces son ( 1,2,3,4 )
Luego, es evidente que para x\prec 1, P_{4}(x)\succ 0, con lo cual se deduce
que los intervalos dónde el polinomio toma valores positivos son (1,2) y (3,4), luego
A=(1,2) \cup (3,4)
con lo cual, \forall x \in se cumple que 1 \prec x \prec 4
luego A está acotado. Y su supremo (la menor de las cotas superiores) e ínfimo (la mayor de las cotas inferiores) son
\text{sup}(A)=4 i \text{inf}(A)=1
\square
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