Conceptos básicos empleados en el contraste de hipótesis

Dado el contraste de hipótesis $H_0$ ( hipótesis nula, que se toma como hipótesis estándar ) frente a $H_1$ ( hipótesis alternativa ), y dado un estadístico ( que es una variable aleatoria dependiente de las variables aleatorias del muestreo aleatorio simple ) $X_1,\ldots,X_n$, y un valor observado de éste en la muestra, es importante recordar los conceptos básicos que aparecen en escena en cualquier problema de contraste de dichas hipótesis a partir de la inferencia de parámetros de la población (mediante la distribución de probabilidad del estadístico del contraste) y del valor del mismo observado en la muestra seleccionada. Son los siguientes:

• Error de tipo I:
  

  Se define como la siguiente probabilidad
  $\text{Error de tipo I}:=P( \text{rechazar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{cierta} )$
      Un valor fijado de antemano para dicha probabilidad, pongamos que del $0'01$ o del $0'05$ ( pues debe ser pequeña para no rechazar sin razón suficiente la hipótesis estándar o nula ), se denota por $\alpha$ y se denomina coeficiente de significación del test. El nivel de significación observado o la probabilidad observada en la muestra de rechazar la hipótesis nula siendo ésta cierta se conoce como p-valor, y representa el menor coeficiente de significación, $\alpha$, con el que poder rechazar la hipótesis nula.
  
  Dependiendo del tipo de contraste ( bilateral o unilateral ), y denotando por: $\hat{\theta}$ al estadístico del contraste, por $\theta$ a la variable de la población, y por $\theta_0$ al valor de referencia de dicha variable que nos sirve para discriminar la hipótesis nula de la alternativa, el cálculo del p-valor se realiza como sigue:
  
  Test bilateral:
  Contrastamos $H_0:\,\theta=\theta_0$ frente a a $H_1:\,\theta \neq \theta_0$
  $\text{p-valor}:=P(\text{rechazar H_0 | H_0 cierta})$
        $=P\{|\hat{\theta}|\ge \theta_0 | H_0 \}$
  
  Test unilateral con la región crítica a la derecha:
  Contrastamos $H_0:\,\theta=\theta_0$ frente a a $H_1:\,\theta \neq \theta_0$
  $\text{p-valor}:=P(\text{rechazar H_0 | H_0 cierta})$
        $=P\{\hat{\theta} \ge \theta_0 | H_0 \}$
  
  Test unilateral con la región crítica a la izquierda:
  Contrastamos $H_0:\,\theta=\theta_0$ frente a a $H_1:\,\theta \neq \theta_0$
  $\text{p-valor}:=P(\text{rechazar H_0 | H_0 cierta})$
        $=P\{\hat{\theta} \le \theta_0 | H_0 \}$
  
  En muchos casos, como ya se ha comentado, se fija de antemano el nivel de significación del test $\alpha$ y se realiza el contraste a partir de si el valor observado del estadístico de contraste pertenece o no al intervalo de aceptación de la hipótesis nula, aceptando ésta si es así, y rechazándola en caso contrario. No obstante, suele calcularse también el p-valor, para ratificar la decisión tomada al disponer de una medida más real del error de tipo I, que en definitiva es de lo que se está hablando; así, si $\text{p-valor} \ge \alpha$, podremos enunciar con más garantía la decisión tomada de aceptar $H_0$, valorando la determinación o fuerza de nuestra decisión según sea el p-valor mucho mayor o casi igual al nivel de significación que, en un principio, se creyó que podría tomarse ante la naturaleza del problema. Por supuesto, si el p-valor fuese menor que el nivel de significación fijado o bien fuese claramente pequeño, pongamos por ejemplo que inferior a $0'01$ - y ya no digamos si fuese mucho menor que ese valor -, deberíamos rechazarnos la hipótesis nula.
  
  

• Nivel de confianza del contraste:
  

  Se define como la siguiente probabilidad
  $P( \text{aceptar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{cierta} )=1-P( \text{rechazar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{cierta} )$
      Por lo tanto, fijado de antemano el coeficiente de significación, $\alpha$, del test, entonces el coeficiente de confianza es el complemento a $1$ del mismo, es decir, $1-\alpha$; así, si, por ejemplo, el coeficiente de significación del test es de $0'01$, el coeficiente de confianza es de $0'99$.
  

• Error de tipo II:
  

  Se define como la siguiente probabilidad y se suele denotar por el símbolo $\beta$
  $\beta:=P( \text{aceptar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{falsa} )$
     
  

• Potencia del test (o del contraste):
  

  Se define como la probabilidad
  $\text{Potencia del contraste}:=P( \text{rechazar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{falsa} )$
        $=1-P( \text{aceptar} \; H_0 \; | \; H_0 \; \text{falsa} )=1-\beta$
      Dada su definición, es evidente que es deseable que el test de contraste tenga un potencia alta, pongamos que mayor que $0'9$.