Propiedades de la matriz adjunta de un matriz dada

Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ ( $A \in \mathcal{M}_{n \times n}$ ) se define su matriz adjunta de la siguiente forma
    $\text{adj}(A)=(\alpha_{ij})^t$
donde $\alpha_{ij}$, que se denomina cofactor de $a_{ij}$, se calcula de la forma
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}$   siendo $M_{ij}=\det(A_{ij})$ el menor complementario que se obtiene suprimiendo de $A$ la fila i-ésima y la columna j-ésima.

Propiedades: Si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$, entonces
$\text{adj}(AB)=\text{adj}(A)\,\text{adj}(B)$
$\text{adj}(A \pm B)\neq \text{adj}(A)\pm \text{adj}(B)$
$\text{adj}(A^m)=\big(\text{adj}(A)\big)^m$
$\text{adj}(I)=I$
$\text{adj}(A^t)=(\text{adj}(A))^t$
$A\,\text{adj}(A)=\text{adj}(A)\,A=\det(A)\cdot I$
$\text{adj}\big(\text{adj}(A)\big)=\big(\det(A)\big)^{n-2}\, A$
$\text{adj}(\lambda\,A)=\lambda^{n-1}\,\text{adj}(A)$
$\det(A)=\dfrac{1}{n}\,\text{tr}(A\,\text{adj}(A)$
$\det\big(\text{adj}(A)\big)=\det\big(A^{n-1}\big)$

Propiedad: Cálculo del determinante desarrollando por los adjuntos de una fila
$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}\,a_{kj}\,\alpha_{kj}\quad \forall k=1,2,\ldots, n$

Propiedad: Cálculo del determinante desarrollando por los adjuntos de una columna
$\det(A)=\sum_{i=1}^{n}\,a_{ik}\,\alpha_{ik}\quad \forall k=1,2,\ldots, n$

Propiedad: Cálculo de la matriz inversa de una matriz no singular a partir de la la matriz adjunta
$A^{-1}=\dfrac{\text{adj}(A)}{\det(A)}$

Propiedad:
$\text{adj}(A^{-1})=\big(\text{adj}(A)\big)^{-1}$

    [matrices con MAXIMA]