Sea la matriz invertible $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&0&-2\\0&2&-1\end{pmatrix}$. Los vectores columna de esta matriz son $a^{1}=\begin{pmatrix}2&0&0\end{pmatrix}$, $a^{2}=\begin{pmatrix}-1&0&2\end{pmatrix}$, $a^{3}=\begin{pmatrix}0&-2&-1\end{pmatrix}$. Los vectores que constituyen una base ortogonal son $p^{i}\;,\,i=1,2,3$ podemos obtenerlos por el método de Gram-Schmidt
$u^{1}=a^1=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$
$u^{2}=a^2-\langle a^2,u^1 \rangle \,u^1=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$
$u^{3}=a^3-\langle a^3,u^1\rangle\,u^1 - \langle u^3,u^2\rangle \,u^2=a^{3}-0\,p^{1}+\dfrac{1}{2}\,p^{2}=\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}$
luego la matriz de paso a la nueva base es la siguiente matriz ortogonal
$P=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&-2\\0&2&0\end{pmatrix}$
con lo que una matriz ortonormal se obtiene normalizando los vectores columnas de la anterior (los vectores de la base ortogonal): $q_1=\dfrac{u^1}{\left\|u^1\right\|}$, $q_2=\dfrac{u^2}{\left\|u^2\right\|}$, $q_3=\dfrac{u^3}{\left\|u^3\right\|}$
por tanto
$Q=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}$, como puede comprobarse por la definición de matriz ortogonal: $Q^t=Q^{-1}$, esto es $QQ^t=I$
Queremos expresar la matriz $A$ de la forma $A=QR$, siendo $Q$ una matriz ortogonal (que ya hemos obtenido a partir de las coordenadas de los vectores de la nueva base $\{p^i\}\,,i=1,2,3$) dispuestos en columnas y normalizados) y $R$ una matriz triangular superior.
Ya tenemos la matriz ortogonal $Q$. Veamos ahora cómo podemos determinar la matriz triangular superior $R$:
De las ecuaciones escritas arriba podemos escribir, en forma matricial, que $A=P-PM$, y por tanto, $A=P(I+M)$, donde $I$ es la matriz identidad y $M$ puede verse fácilmente que es $\begin{pmatrix}0&m_{12}&m_{13}\\0&0&m_{23}\\0&0&0\end{pmatrix}$, siendo sus coeficientes de la forma $m_{ij}=\dfrac{a^j\,p^i}{\left\|p^i\right\|^2}\,\text{para}\,j\gt i$
Entonces, como al normalizar los vectores columna se han dividido sus coordenadas, $p^{i}\,,i=1,2,3$, por la norma respectiva de cada vector, $\left\|p^i\right\|$, tenemos que $A=P(I+M)=QD(I+M)=Q\,(D(I+M))$, y como esto debe ser igual a $QR$, se tiene que $R=D(I+M)$, siendo $D$ una matriz diagonal que, como acabamos de justificar, resulta ser $D=(d_{ii})$, con $d_{ii}=\left\|p^i\right\|$; y, en nuestro caso, resulta ser $D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$, por lo que la matriz triangular superior es $R=\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&2&-1\\0&0&2\end{pmatrix}$. Así, una descomposción $QR$ de $A$ puede comprobarse que es $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&2&-1\\0&0&2\end{pmatrix}$. $\square$
