Un ejercicio en el que se busca la matriz de una aplicación lineal

En este ejercicio me propongo encontrar la matriz, con respecto a las bases canónicas del espacio vectorial de partida y el de llegada, que corresponde a la aplicación lineal $f:V_4(\mathbb{R}) \rightarrow V_3(\mathbb{R})$, tal que: $$i) \quad f((1,1,0,0)^\top=(1,0,0)^\top$$ $$ii) \quad f((0,1,1,0)^\top=(0,1,0)^\top$$ $$iii) \quad f((0,0,1,1)^\top=(0,0,1)^\top$$ $$iv) \quad f((0,0,0,1)^\top=(0,0,1)^\top$$

Como la dimensión del espacio vectorial de llegada es $3$ y el de partida es $4$, la matriz de la aplicación lineal es $A_{3 \times 4}$, esto es $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$$

Por la condición $(i)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{11}+a_{12}=1 \\ a_{21}+a_{22}=0 \\ a_{31}+a_{32}=0 \end{matrix}\right. \quad (1)$$

Por la condición $(ii)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{12}+a_{13}=0 \\ a_{22}+a_{23}=1 \\ a_{32}+a_{33}=0 \end{matrix}\right. \quad (2)$$

Por la condición $(iii)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{13}+a_{14}=0 \\ a_{23}+a_{24}=0 \\ a_{33}+a_{34}=1 \end{matrix}\right. \quad (3)$$

Y, por la condición $(iv)$, $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{14}=0 \\ a_{24}=0 \\ a_{34}=1 \end{matrix}\right. \quad (4)$$

Sustituyendo $(4)$ en $(3)$ obtenemos $a_{13}=a_{23}=a_{33}=0$

Sustituyendo todos estos resultados en $(2)$ obtenemos $a_{12}=0$ y $a_{22}=1$

Y, finalmente, sustituyendo lo encontrado hasta ahora en $(1)$ obtenemos $a_{11}=1$, $a_{21}=-1$ y $a_{31}=0$

Así pues concluimos que $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

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Escritura de la matriz de una aplicación lineal dada. Un ejemplo

Queremos encontrar las matrices asociadas a la siguiente aplicación lineal:
$$f:\mathbb{C}^3\rightarrow \mathbb{C}^2; (z_1,z_2,z_3)\mapsto (z_1+i\,z_2+0\cdot z_3\,,\,0\cdot z_1+z_2-i\,z_3)$$

Recordemos que dada una aplicación lineal $\phi$ del espacio vectorial $E_m$ (de dimensión $m$) en el espacio vectorial $E_n$ (de dimensión $n$), ésta tiene asociada una matriz $A_{n \times m}$, tal que $A_{n\times m}\,u_{m \times 1}=v_{ n \times 1}$, donde $u_{m}$ y $v_n$ son vectores del $E_{m}$ (espacio de partida) y de $E_n$ (espacio de llegada), respectivamente.

En nuestro caso, la aplicación en cuestión es $f$. Y sabemos que $\mathbb{C}^3$, que es un espacio vectorial —aunque el cuerpo de los números complejos no sea un cuerpo ordenado—, es el de partida, con $m=3$; y $\mathbb{C}^2$ es el espacio vectorial de llegada, con $n=2$. Entonces, la matriz asociada a $f$ es $$A_{2 \times 3}=\begin{pmatrix}1 & i & 0\\ 0 & 1 & -i \end{pmatrix}$$

Comprobación:
En efecto, por la multiplicación de matrices:
$$\begin{pmatrix}1 & i & 0\\ 0 & 1 & -i \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z_1+i\,z_2+0\cdot z_3 \\ z_1+z_2-i\,z_3 \end{pmatrix}$$ $\diamond$

Matriz de una aplicación lineal

Enunciado:
Consideremos una aplicación lineal
    $f:\,\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$
dada por
    $f(x_1,x_2)=(x_1-x_2\,,\,x_1+2\,x_2,2\,x_1-3\,x_2)$
Determinemos la matriz de dicha aplicación lineal.

Resolución:
Deberá cumplirse el siguiente producte de matrices (que expresa el sistema de ecuaciones lineales)

    $M \cdot\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \end{matrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1-x_2 \\ x_1+x_2 \\ 2\,x_1-3\,x_2 \end{matrix}\end{pmatrix}$

Para que ello sea posible, la matriz de la aplicación lineal $M$, debe tener $3$ filas y $2$ columnas, con los siquientes coeficientes:


    $M_{3 \times 2}=\begin{pmatrix}\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix}\end{pmatrix}$

$\square$