Un ejercicio en el que se busca la matriz de una aplicación lineal

En este ejercicio me propongo encontrar la matriz, con respecto a las bases canónicas del espacio vectorial de partida y el de llegada, que corresponde a la aplicación lineal $f:V_4(\mathbb{R}) \rightarrow V_3(\mathbb{R})$, tal que: $$i) \quad f((1,1,0,0)^\top=(1,0,0)^\top$$ $$ii) \quad f((0,1,1,0)^\top=(0,1,0)^\top$$ $$iii) \quad f((0,0,1,1)^\top=(0,0,1)^\top$$ $$iv) \quad f((0,0,0,1)^\top=(0,0,1)^\top$$

Como la dimensión del espacio vectorial de llegada es $3$ y el de partida es $4$, la matriz de la aplicación lineal es $A_{3 \times 4}$, esto es $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}$$

Por la condición $(i)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{11}+a_{12}=1 \\ a_{21}+a_{22}=0 \\ a_{31}+a_{32}=0 \end{matrix}\right. \quad (1)$$

Por la condición $(ii)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{12}+a_{13}=0 \\ a_{22}+a_{23}=1 \\ a_{32}+a_{33}=0 \end{matrix}\right. \quad (2)$$

Por la condición $(iii)$ se tiene que $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{13}+a_{14}=0 \\ a_{23}+a_{24}=0 \\ a_{33}+a_{34}=1 \end{matrix}\right. \quad (3)$$

Y, por la condición $(iv)$, $$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ luego $$\left\{\begin{matrix} a_{14}=0 \\ a_{24}=0 \\ a_{34}=1 \end{matrix}\right. \quad (4)$$

Sustituyendo $(4)$ en $(3)$ obtenemos $a_{13}=a_{23}=a_{33}=0$

Sustituyendo todos estos resultados en $(2)$ obtenemos $a_{12}=0$ y $a_{22}=1$

Y, finalmente, sustituyendo lo encontrado hasta ahora en $(1)$ obtenemos $a_{11}=1$, $a_{21}=-1$ y $a_{31}=0$

Así pues concluimos que $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$\diamond$