EDO asociada a la familia de circunferencias de radio $2$, centradas en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes

Consideremos la familia de circunferencia de radio igual a $2$ cuyos centros se encuentran sobre la bisectriz del primer y tercer cuadrantes del plano. ¿Cuál es la EDO asociada?

La ecuación de una de estas circunferencias, de centro $A(x_\alpha,y_\alpha)$, es $(x-x_\alpha)^2+(y-y_\alpha)^2=2^2$. Ahora bien, al estar $C$ en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, $\alpha_x=\alpha_y$, con lo cual se tiene que esta familia de circunferencias (solución general de la EDO) es $(x-x_\alpha)^2+(y-x_\alpha)^2=2^2$, esto es $x^2+y^2-2\,\alpha_x\,x-2\,\alpha_x\,y=4 \quad (1)$, donde $\alpha_x$ juega ahora el papel de constante arbitraria (de integración). Para obtener una expresión de la misma, derivo, despejo, simplifico y sustituyo:
Al derivar obtengo, $x+y-\alpha_x-\alpha_x\,y'=0$, es decir, $x+y=(y'+1)\,\alpha_x$ y por tanto, $\alpha_x=\dfrac{x+y}{1+y'}$, y sustituyendo en $(1)$ -que es lo mismo que $x^2+y^2-2\,\alpha_x\,(x+y)=4$- llegamos a $x^2+y^2-2\,\dfrac{(x+y)^2}{1+y'}=4$, es decir, $(x^2+y^2-4)(1+y')-2\,(x+y)^2=0$ $\diamond$