Obtención de la ecuación diferencial asociada a su solución general

En este ejercicio me propongo determinar la ecuación diferencial ordinaria cuya solución general es $\ln\,(y)=A\,x^2+B$, siendo $A$ y $B$ las constantes indeterminadas.

Al haber dos constantes arbitrarias es claro que el orden de la ecuación diferencial es $2$. Bien, derivando con respecto a $x$ la solución general, se obtiene $$\dfrac{1}{y}\,y'=2\,A\,x+0$$ de donde se deduce que $$A=\dfrac{y'}{2\,y\,x}$$Susbstituyendo en la solución general, $$\ln\,(y)=\dfrac{x}{2\,y}\,y'+B$$ y derivando otra vez con respecto a $x$, $$\dfrac{1}{y}\,y'=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{(y'+x\,y\,y'')\,y-x\,(y')^2}{y^2}\right)$$ y simplificando, $$x\,y\,y''-y\,y'-x\,(y')^2=0$$ $\diamond$