Ecuación de un plano perpendicular a una recta dada

Se quiere determinar la ecuación del plano, en $\mathbb{R}^3$, que contiene al punto $A(1,-1,0)$ y es perpendicular a la recta $r:\left\{\begin{matrix}x=1+(-1)\cdot\lambda\\y=1+1\cdot \lambda\\z=3+0\cdot \lambda\end{matrix}\right.\;\forall \lambda \in \mathbb{R} (\quad (1)$

La ecuación de la recta $r$ escrita en forma vectorial es $r:(x,y,z)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)+\lambda\,(u_x,u_y,u_z)$, siendo $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ las coordenadas de un punto $P\in r$ y $(u_1,u_2,u_3)$ son las coordenadas de un vector director de $r$, por lo que podemos escribir las ecuaciones cartesianas de $r$ de la forma $$r:\left\{\begin{matrix}x=\alpha_1+\lambda\,u_1\\y=\alpha_2+\lambda\,u_2\\z=\alpha_3+\lambda\,u_3\end{matrix}\right.\;\forall \lambda \in \mathbb{R}\quad (2)$$ De la comparación de $(1)$ y $(2)$ se deduce que $u_1=-1$, $u_2=1$ y $u_3=0$, luego un $\vec{u}=(-1,1,0)$; y, $\alpha_1=1$, $\alpha_2=1$ y $\alpha_3=3$

Sea $X(x,y,z)$ un punto genérico del plano $\pi$; entonces, como $A$ también está en el plano, un vector en el plano $\pi$ es $\vec{AX}=(x-\alpha_1,y-\alpha_2,z-\alpha_3)$ y por tanto $$\vec{AX}=(x-1,y-1,z-3)$$

Teniendo en cuenta que $r$ ha de ser perpendicular a $\pi$, $\vec{u} \perp \pi$ y por tanto $$\vec{u} \perp \vec{AX} \Leftrightarrow \langle \vec{u}\,,\,\vec{AX}\rangle=\langle (-1,1,0)\,,\,(x-1,y-1,z-3)\rangle=-1\cdot (x-1)+1\cdot (y-1)+0\cdot (z-3)=0$$ En consecuencia, $-x+1+y-1+0=0$, esto es, $x-y=0$ y por tanto $$\pi:x-y=0$$

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