Vectores constantes (en $t$, parámetro de evolución)

Se considera el vector $\vec{u(t)}\neq \vec{0}$ en $\mathbb{R}^3$, donde $t$ representa el parámetro de evolución. Se quiere demostrar que $\vec{u} \times \dot{\vec{u}}=\vec{0}$ si y sólo si la dirección de $\vec{u}$ es constante (no depende de $t$)

Se cumple la condición suficiente:
Si la dirección de $\vec{u}$ es constante (no depende de $t$), entonces $\dot{\vec{u}}=\vec{0}$, con lo cual, $\vec{u} \times \dot{\vec{u}}=\vec{u} \times \vec{0}=\vec{0}\quad \diamond$

Se cumple la condición necesaria:
Si $\vec{u} \times \dot{\vec{u}}=\vec{0}$, se tiene que, como $\dfrac{d}{dt}\,\left( \vec{u} \times \vec{u}\right)=\vec{u}\times \dot{\vec{u}}+\dot{\vec{u}}\times \vec{u}=\vec{u}\times \dot{\vec{u}}+(-\vec{u}\times \dot{\vec{u}})=\vec{u}\times \dot{\vec{u}}-\vec{u}\times \dot{\vec{u}}=\vec{0}$
  $\Leftrightarrow \vec{u} \times \vec{u}=\text{no depende de}\,t\, \Leftrightarrow \vec{u}=\text{no depende de}\,t$
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