EDO asociada a la familia de rectas del plano cuya distancia al origen de coordenadas es igual a la unidad

¿Cuál es la EDO asociada a la familia de rectas del plano tal que para cada una de ellas la distancia al origen de coordenadas $O$ sea igual a la unidad?

Sea una de dichas rectas, cuya ecuación en forma implícita puede escribirse de la forma $r:ax+by+c=0\quad (1)$. Entonces, $\text{distancia}(r,O(0,0)):=\dfrac{a\cdot 0+b\cdot 0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=-\dfrac{ax+by}{\sqrt{a^2+b^2}}=1 \quad (2)$

Ahora bien, $a$ y $b$ están relacionados con la pendiente de la recta, $m$; en efecto, si escribimos la ecuación de $r$ en forma explícita, tenemos que $r:y=m\,x+k$, pero de $(1)$, $\dfrac{a}{b}\,x+y=-\dfrac{c}{a}$, luego $y=-\dfrac{a}{b}\,x-\dfrac{c}{a}$, y por tanto se tiene que $m=-\dfrac{a}{b}$, con lo cual $a=-m\,b$; por consiguiente, $(2)$ puede escribir de la forma: $$\dfrac{(-mb)\,x+b\,y}{\sqrt{(-mb)^2+b^2}}=1$$ o lo que es lo mismo (simplificando), $$y-m\,x-\sqrt{1+m^2}=0 \quad (3)$$ Con lo cual, la solución general depende de un sólo parámetro (como era de esperar), $m$, y por tanto la EDO que buscamos ha de ser de primer orden.

Derivando $(3)$ con respecto de $x$ podremos despejar dicho parámetro y sustituirlo después para encontrar la ecuación diferencial pedida:
$$y'-m=0 \Rightarrow m=y'$$ con lo cual $(3)$ se reescribe de la forma $$y-x\,y'-\sqrt{1+(y')^2}=0$$ es decir $$y-x\,y'=\sqrt{1+(y')^2}$$ elevando al cuadrado en ambos miembros, $$(y-x\,y')^2=1+(y')^2$$ y, desarrollando el binomio al cuadrado del segundo miembro, y agrupando términos: $$(1-x)^2\,(y')^2+2xy\,y'-y^2+1=0$$

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