Un ejercicio para determinar una base del núcleo de una aplicación lineal dada

Se considera el endomorfismo $f:V_3(\mathbb{R})\rightarrow V_2(\mathbb{R});\,(x_1,x_2,x_3)^\top \mapsto (x_1+x_2+x_3,x_1+x_2)^\top$. Me propongo encontrar una base del núcleo de la aplicación lineal, $\text{Ker}(f)$

Veamos cuál es la matriz asociada $A$ a $f$: Como $\left\{\begin{matrix}f(x_1)&=&x_1+x_2+x_3\\f(x_2)&=&x_1+x_2\end{matrix}\right.$, se tiene que $A_{2\times 3}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$. Es claro que $\text{rango}(A)=2$, pues podemos encontrar menores complementarios de orden $2$ distintos de cero, luego como $\text{dim}(V_3)=\text{rango}(A)+\text{dim}(\text{Ker}(f))$, vemos que $3=2+\text{dim}(\text{Ker}(f))$ y por tanto, $\text{dim}(\text{Ker}(f))=3-2=1$; así que una base de $\text{Ker}(f)$ estará formada por un sólo vector.

Encontremos uno, teniendo en cuenta que todo vector del núcleo tiene el vector $\vec{0}_{V_2}$: $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}0&=&x_1+x_2+x_3\\0&=&x_1+x_2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}0&=&x_1+x_2+x_3\\0&=&x_3=0\end{matrix}\right. \Rightarrow \lambda:=x_1=-x_2$$ en consecuencia, tomando (pongamos que) $\lambda=1$, un vector válido es $(1,-1,0)$, luego podemos escribir que $\text{Ker}(f)=\langle (1,-1,0)\rangle$

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