Acerca del movimiento circular no uniforme en un plano

Consideremos un movimiento circular no uniforme en el plano $Oxy$, de radio $R$, $\vec{r}(t)=R\,\cos(t)\,\hat{i}+R\,\sin(t)\,\hat{j}$, en cada punto de la trayectoria el vector velocidad viende dado por $\dfrac{d\vec{r}(t)}{dt}=\dfrac{d\vec{r}}{ds}\cdot \dfrac{ds}{dt}=\vec{\sigma}\, c_\sigma$, donde $s$ es el parámetro natural longitud de arco y, por tanto, $c_\sigma=\dfrac{ds}{dt}$ es la celeridad a lo largo de la trayectoria circular (módulo del vector velocidad); por otra parte, recordemos que $\vec{\sigma}$ -véase el artículo en el que hablaba de ello- es el vector unitario en la dirección de la recta tangente a la circunferencia en cada punto de la misma.

Entonces, es bien sabido que el vector aceleración en cada punto de la trayectoria viene dada por la derivada del vector velocidad, esto es $\dfrac{d}{dt}\,(c_\sigma\,\vec{\sigma})=\dfrac{dc_\sigma}{dt}\,\vec{\sigma}+c_\sigma\dfrac{d\vec{\sigma}}{dt}=a_\sigma\,\vec{\sigma}+c\,\dfrac{d\vec{\sigma}}{ds}\,\dfrac{ds}{dt}=a_\sigma\,\vec{\sigma}+\dfrac{c^2}{R}\,\vec{n}$, ya que $\dfrac{d{\vec{\sigma}}}{ds}=\dfrac{1}{R}\,\vec{n}$ donde $\vec{n}$ recordemos que es el vector normal unitario (en la dirección perpendicular al vector tangente). Así pues, el vector aceleración se descompone en como suma ortogonal de un vector aceleración tangente a la trayectoria (cuyo módulo es $a_\sigma$) y un vector aceleración normal a la trayectoria (cuyo módulo es $\dfrac{c^2}{R}$). La curvatura, $\mathcal{K}=\dfrac{1}{R}$ es en este caso también constante, pues, de alguna manera, la partícula en movimiento no puede salirse del camino circular. $\diamond$