Un ejercicio en el que se aplica la sobre un parámetro para que un conjunto de tres vectores dados, y que dependen de dicho parámetro, forme una base de $\mathbb{R}^3$

¿Para qué valores del parámetro real $a$, el conjunto de vectores $\{(\alpha,0,1),(0,1,1),(2,-1,\alpha)\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$?

Como la dimensión del espacio vectorial es $3$ se necesitan exactamente tres vectores linealmente independientes para formar una base. Veamos si estos tres candidatos cumplen esta condición, lo cual es equivalente a decir que la combinación lineal para describir el vector nulo, $a\,(\alpha,0,1)+b\,(0,1,1)+c\,(2,-1,\alpha)=(0,0,0) \quad (1)$, ha de ser tal que los coeficientes $a,b$ y $c$ sean los tres igual a cero.

De $(1)$ puede escribirse el siguiente sistema homogéneo: $$\left\{\begin{matrix}\alpha \, a+2\,c=0\\b-c=0\\a+b+\alpha\,c=0\end{matrix}\right.$$

La matriz de los coeficientes es $\begin{pmatrix}\alpha&0&2\\0&1&-1\\1&1&\alpha\end{pmatrix}$ y la matriz ampliada es $\begin{pmatrix} \alpha & 0 & 2 & 0\\ 0 &1&-1&0 \\ 1&1&\alpha&0 \end{pmatrix}$

Para que $a=b=c=0$ (solución única), el sistema homogéneo tendrá que ser compatible determinado, y siendo el número de incógnitas igual a $3$, el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual a $3$ (éste será también el rango de la matriz amplicada, por ser la última columna nula); y, para ello, el determinante de la matriz ampliada tendrá que ser distinto de cero: $$\begin{vmatrix}\alpha&0&2\\0&1&-1\\1&1&\alpha\end{vmatrix}\neq 0 \Leftrightarrow \alpha^2+\alpha-2 \neq 0 \, \Leftrightarrow \alpha \not \in \{1\,,-2\}$$

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